3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[学习目标]
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
3．理解共轭复数的概念．
[知识链接]
写出下列各小题的计算结果：
(1)(a±b)2＝________；
(2)(3a＋2b)(3a－2b)________；
(3)(3a＋2b)(－a－3b)________．
(4)(x－y)÷(＋)________．
答案 (1)a2±2ab＋b2 (2)9a2－4b2 (3)－3a2－11ab－6b2 (4)－
[预习导引]
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＝＋i.
要点一 复数乘除法的运算
例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
规律方法 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
(2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a＋bi和a－bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.
跟踪演练1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝
－20＋15i；
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；
(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；
(2)6＋.
解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝＝＝＝－＋i；
(2)原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
规律方法 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
跟踪演练2 计算：(1)；(2).
解 (1)＝＝＝1－i；
(2)＝＝＝－1－3i.
要点二 共轭复数及其应用
例3 已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴，解得，
∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.
规律方法 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．
跟踪演练3 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1. ①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0. ②
由①②联立，解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
1．复数－i＋等于( )
A．－2i B．i
C．0 D．2i
答案 A
解析 －i＋＝－i－＝－2i，选A.
2．(2013·江西)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )
A．－2i B．2i
C．－4i D．4i
答案 C
解析 本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算．因为M∩N＝{4}，所以zi＝4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，zi＝－b＋ai，由zi＝4，利用复数相等，得a＝0，b＝－4.故选C.
3．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)z等于( )
A．1＋3i B．3＋3i
C．3－i D．3
答案 A
解析 (1＋z)·z＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i＝1＋3i.
4．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A. B．
C．－ D．－
答案 A
解析 ∵z2＝t＋i，∴2＝t－i.
z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.
5．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为z＝＝＝，故复数z对应的点在第四象限，选D.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
一、基础达标
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．－i B．i
C．－1 D．1
答案 A
解析 z＝＝－i.
2．i为虚数单位，＋＋＋等于( )
A．0 B．2i
C．－2i D．4i
答案 A
解析 ＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0.
3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
答案 D
解析 ∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴.
4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．
5．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
答案 1
解析 由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.
6．复数的虚部是________．
答案 －
解析 原式＝＝＝－i，∴虚部为－.
7．计算：(1)＋2010；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解 (1)＋2010＝＋1005
＝i(1＋i)＋1005＝－1＋i＋(－i)1005
＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
二、能力提升
8．(2013·新课标)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
答案 A
解析 因为复数z满足z(1－i)＝2i，所以z＝＝＝－1＋i.
9．(2013·山东)若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
答案 D
解析 由(z－3)(2－i)＝5，得z＝＋3＝＋3＝＋3＝2＋i＋3＝5＋i.所以＝5－i，选D.
10．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于________．
答案 －2i
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
11．(2013·山东聊城期中)已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值．
解 由z＝，
得z＝＝＝1－i，
又z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1.
12．已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
又z·－3iz＝，
∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝，
∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
∴∴或.
∴z＝－1，或z＝－1－3i.
三、探究与创新
13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
解 (1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴，得.
∴b、c的值为b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．