第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
课时目标
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．
2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．
2．几类特殊向量
(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________．
(2)单位向量：________的向量称为单位向量．
(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
(4)相反向量：与向量a长度______而方向________的向量，称为a的相反向量，记为________．
3．空间向量的加减法与运算律
空间向量
的加减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：
＝＋＝__________；＝－＝________.
加法运
算律
(1)交换律：a＋b＝________
(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.；
一、选择题
1．下列命题中，假命题是( )
A. 向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是( )
A. ＋＝ B.＋＝
C.－＝ D.－＝
3.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋=0，则等于( )
A. B. C.D.2
4.已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A. ＝＋ B.＝－－
C.与同向 D.与与同向
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式-+化简后的结果是( )
A. B. C. D.
6．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
A.＋＋＝0B.－－＝0
C.＋－＝0 D.－＋＝0
二、填空题
7.在平行六面体ABCD－A’B’C’D’中，与向量的模相等的向量有________个．
8.若G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)
9．判断下列各命题的真假：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为________．
三、解答题
10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
11.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，请化简：＋＋，(2)＋＋，并标出化简结果的向量．
能力提升
12.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．
1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．
2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．
3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．
4．a－b表示的是由b的终点指向a的终点的一条有向线段．
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3．1.1 空间向量及其加减运算
知识梳理
1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段
②
2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等
(4)相等 相反 －a
3．a＋b a－b (1)b＋a (2)a＋(b＋c)
作业设计
1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]
2．D [－＝＝.]
3．C [∵D为BC边中点，∴＋＝2，
∴＋＝0，∴＝.]
4．D [由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．]
5．A
[如图所示，
∵＝，1－
＝－＝，
＋＝1，
∴－＋＝.]
6．A [观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量，，平移后可以首尾相连，于是＋＋＝0.]
7．7
解析 ||＝||＝||＝||＝||
＝||＝||＝||.
8．重心
解析
如图，取BC的中点O，AC的中点D，连结OG、DG.由题意知＝－－＝＋＝2，同理＝2，故G为△ABC的重心．
9．3
解析 ①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．
11．解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．
∴＝，＝.
∴＋＋
＝＋＋＝.
故所求向量，，如图所示．
12．D [＝＋＝a＋
＝a＋(b－a)＝a＋b.]
13．证明
如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则＝
＝(＋＋)．
设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．
则＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋(－＋＋)
＝(＋＋)．
同理可证：＝(＋＋)
＝(＋＋)．
由此可知O，P，M，N四点重合．
故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．