第23课时 平面向量共线的坐标表示
课时目标
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
识记强化
两向量平行的条件
(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b⇔a1b2－a2b1＝0.
(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)且(b1b2≠0)，则a∥b⇔＝，即两条向量平行的条件是相应坐标成比例．
课时作业
一、选择题
1．若三点A(1,1)、B(2，－4)、C(x，－9)共线，则( )
A．x＝－1 B．x＝3
C．x＝ D．x＝5
答案：B
解析：因为A、B、C三点共线，所以与共线．
＝(1，－5)，＝(x－2，－5)，所以(x－2)·
(－5)＋5＝0.所以x＝3.
2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为( )
A．－ B.
C. D．－
答案：C
解析：根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
3．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2
C．4 D．－6
答案：D
解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
4．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)两向量方向相反，则x＝( )
A．－5 B．5
C．－1 D．1
答案：A
解析：由两向量共线可得x2－25＝0∴x＝±5，
又两向量方向相反，∴x＝－5.
5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)．若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为( )
A. B．2
C．－ D．－2
答案：D
解析：根据题意，得ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋4b与a－2b共线，所以(2m－4)×(－1)＝4(3m＋8)，解得m＝－2.
6．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝(1＋cosθ，－)且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45° B．30°
C．60° D．30°或60°
答案：A
解析：由向量共线条件得－2×(－)－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0，即cos2θ＝.所以θ＝45°.
二、填空题
7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
答案：1
解析：a－2b＝(，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝×，解得k＝1.
8．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
答案：1
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b，若m∥n，则λ＝________.
答案：－
解析：m＝(4＋λ，3－2λ)，n＝(7,8)，
由(4＋λ，3－2λ)，k(7,8)，得λ＝－.
三、解答题
10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．
(1)若＝，求点D的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解：(1)设D(x，y)．
由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，
即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，
所以，解得.
所以点D的坐标为(5，－6)．
(2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，
b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．
由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，
所以k＝－.
11．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，
∴3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
(3)由a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.
能力提升
12．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则等于( )
A. B．2
C．－ D．－2
答案：C
解析：易知a，b不共线，则有＝，故＝－.
13．已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限的角平分线上？
(2)点P在第三象限内？
解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．
＋λ＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∴∴
∴点P的坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，此时λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则
∴∴λ＜－1.
即当λ＜－1时，点P在第三象限内．