3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
课时目标 1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．
1．两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝__________________.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________.
2．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________.
S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________.
3．两角互余或互补
(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与__________互余，＋α与________互余．
(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与______________互补，____________与π－α互补．
一、选择题
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )
A.B.C.D.
2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )
A．－ B．－ C. D.
3．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是( )
A. B. C. D.
4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为( )
A．1 B．2 C．1＋ D．2＋
6．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是( )
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．化简sin＋cos的结果是________．
8．函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为________．
9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是__________．
10．式子的值是________．
三、解答题
11．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．
12．证明：－2cos(α＋β)＝.
能力提升
13．已知sinα＋cos＝，则sin的值是________．
14．求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．
1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sincosα－cossinα＝－cosα.
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sinα.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
答案
知识梳理
1．cosαcosβ＋sinαsinβ cosαcosβ－sinαsinβ
2．sinαcosβ＋cosαsinβ sinαcosβ－cosαsinβ
3．(1) ＋α －α (2)π π－α α＋
作业设计
1．A
2．B [原式＝－sin65°sin55°＋sin25°sin35°
＝－cos25°cos35°＋sin25°sin35°
＝－cos(35°＋25°)＝－cos60°＝－.]
3．C [∵cosα＝，cos(α＋β)＝，
∴sinα＝，sin(α＋β)＝.
∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.]
4．D [cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)＝0.
∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，
∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝±1.]
5．B [f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2(cosx＋sinx)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，
∴≤x＋<.
∴f(x)max＝2.]
6．C [∵sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0.即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]
7．cosα
解析 原式＝sincosα＋cossinα＋coscosα－sinsinα＝cosα.
8.
解析 f(x)＝sinx－cosx＝＝＝sin.
9.
解析
∴，
∴＝＝.
10.
解析 原式＝
＝
＝＝tan60°＝.
11．解 因为<β<α<，
所以0<α－β<，
π<α＋β<.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
12．证明 －2cos(α＋β)
＝
＝
＝
＝
＝.
13．－
解析 sinα＋cos
＝sinα＋cosαcos＋sinαsin
＝sinα＋cosα
＝
＝
＝sin＝.
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
14．解 设sinx＋cosx＝t，
则t＝sinx＋cosx＝＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sinx·cosx＝＝.
∴f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx
即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．
当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1.
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.
当t＝，即sinx＋cosx＝时，f(x)max＝＋.
此时，由sin＝，sin＝1.
解得x＝2kπ＋，k∈Z.
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.