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    2020-10-28 高二下册数学人教版

    预习导航
    课程目标
    学习脉络
    1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义.
    2.会求导函数.
    3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
    1.导数的几何意义
    (1)切线:如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.显然割线PPn的斜率是kn=.当点Pn无限趋近于点P时,kn无限趋近于切线PT的斜率.
    (2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,也就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率k= =f′(x0),相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
    思考1如图所示,直线l是曲线y=f(x)在点P0处的切线,这与以前学习的直线与圆相切时,直线与圆有且仅有一个公共点是否相同?如何理解?
    提示:不相同.曲线y=f(x)在某点处的切线只是在切点P0附近区域上只有一个公共点,但放眼大的范围公共点可能不只一个,甚至多个.因此,直线l是曲线y=f(x)在切点P0处的切线,但在点A处不是曲线的切线.
    2.导函数
    从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).
    y=f(x)的导函数有时也记作y′,
    即f′(x)=y′= .
    思考2如何区分f′(x0)与f′(x)?
    提示:
    区别
    联系
    f′(x0)
    f′(x0)是具体的值,是数值
    在x=x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,因此求函数在某一点处的导数,一般先求导函数,再计算导函数在这点的函数值
    f′(x)
    f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数,是函数
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