学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A.－0.2 B．0.2
C．0.1 D．－0.1
【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.
【答案】 B
2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
【解析】 A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选A.
【答案】 A
3．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)
【解析】 A项，P(ξ＝2)＝；
B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠；
C项，P(ξ＝4)＝；
D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)>.
【答案】 C
4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.
【答案】 A
5．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则P的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ＋＋＋＝
a
＝a＝1.
∴a＝.
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝×＝.
【答案】 D
二、填空题
6．若随机变量X服从两点分布，则P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
【解析】 由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，
∴P(Y＝－2)＝0.8.
【答案】 0.8
7．设离散型随机变量X的概率分布列为：
X
－1
0
1
2
3
P
m
则P(X≤2)＝________.
【解析】 P(X≤2)＝1－＝.
【答案】
8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
X
0
2
3
P
a
b
c
则这名运动员得3分的概率是________．
【解析】 由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.
【答案】
三、解答题
9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
【解】 (1)X的分布列如下表：
X
0
1
P
(2)X的分布列如下表：
X
0
1
P
10.(2016·大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
(1)求X的分布列；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
【解】 (1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}算出其相应的概率．
即X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
[能力提升]
1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选B.
【答案】 B
2．(2016·周口中英文学校月考)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
则q为( ) 【导学号：97270035】
A．1 B．1±
C．1＋ D．1－
【解析】 由分布列性质(2)知＋1－2q＋q2＝1，
解得q＝1±，又由性质(1)知1－2q≥0，
∴q≤，∴q＝1－，故选 D.
【答案】 D
3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图211中以X表示．
甲组
乙组
9
9
0
X
8
9
1
1
1
0
图211
如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
【解析】 当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝.
同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；
P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
【答案】
Y
17
18
19
20
21
P
4.(2016·西安高二检测)袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
【解】 (1)从袋中随机摸4个球的情况为
1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红．
分别得分为5分，6分，7分，8分．
故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
故所求分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.