高中数学必修4：习题课（一） Word版含解析

习题课(一)
一、选择题
1．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在(　　)
A．x轴的正半轴上
B．y轴的正半轴上
C．x轴的负半轴上
D．y轴的负半轴上
答案：A
解析：∵角α、β终边相同，∴α＝k·360°＋β，k∈Z.
作差α－β＝k·360°＋β－β＝k·360°，k∈Z，
∴α－β的终边在x轴的正半轴上．
2．在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长是(　　)
A.π　 B.π
C.π D.π
答案：A
解析：所求的弧长l＝π×10＝π.
3．已知tan130°＝k，则sin50°的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案：A
解析：k＝tan130°＝－tan50°，∴tan50°＝－k>0，∴cos50°＝－sin50°.又sin250°＋cos250°＝1，∴sin250°＝.∵k<0，sin50°>0，∴sin50°＝－.
4．已知cos＝－，且σ是第四象限角，则cos(－3π＋σ)＝(　　)
A. B．－
C．± D.
答案：B
解析：∵cos＝sinσ＝－，且σ是第四象限角，
∴cosσ＝，∴cos(－3π＋σ)＝－cosσ＝－.
5．如果角θ满足sinθ＋cosθ＝，那么tanθ＋的值是(　　)
A．－1 B．－2
C．1 D．2
答案：D
解析：由sinθ＋cosθ＝，得sinθcosθ＝.
故tanθ＋＝＋＝＝＝2.
6．已知n为整数，化简所得结果是(　　)
A．tan(nα) B．－tan(nα)
C．tanα D．－tanα
答案：C
解析：若n＝2k(k∈Z)，则＝＝＝tanα；若n＝2k＋1(k∈Z)，则＝＝＝＝tanα.
二、填空题
7．如果cosα＝，且α是第四象限角，那么cos＝________.
答案：
解析：∵α是第四象限角，且cosα＝，∴sinα＝－＝－，∴cos＝－sinα＝.
8．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
答案：
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，
∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.
9．设α是第二象限角，且cos＝－，则是第________象限角．
答案：三
解析：∵cos＝－
＝－＝－|cos|.∴cos≤0.又∵α是第二象限角，∴是第一或第三象限角．故是第三象限角．
三、解答题
10．已知sin·cos＝，且<α<，求sinα与cosα的值．
解析：∵sin＝－cosα，
cos＝cos＝－sinα，
∴sinα·cosα＝，即2sinα·cosα＝.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
∴由①＋②，得(sinα＋cosα)2＝，
由②－①，得(sinα－cosα)2＝，
又α∈，∴sinα>cosα>0，
即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，
∴sinα＋cosα＝，③
sinα－cosα＝，④
由③＋④，得sinα＝，由③－④，得cosα＝.
11．化简：(1)；
(2)＋
.
解：
(1)原式＝
＝＝
＝＝1；
(2)∵tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，
sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π＋α)＝cosα，
sin＝－cosα，cos＝cos
＝cos＝cos＝－sinα，
sin＝－cosα，
∴原式＝＋
＝－＝＝＝1.
　　能力提升
12．若tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)
A. B.
C．－1 D．1
答案：A
解析：∵
＝＝＝＝＝.
又tan(5π＋α)＝m，∴tan(π＋α)＝m，tanα＝m.
∴原式＝.
13．已知sin(3π－α)＝cos，cos(π－α)＝cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sinα和cosβ的值．
解：原式可化为sinα＝sinβ①
cosα＝cosβ②
由①2＋②2可得
1＝＋sin2β
∴sin2β＝，cos2β＝
又∵sinα＝sinβ＞0
∴sinβ＝，cosβ＝±
sinα＝.