明目标、知重点
会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
1．当x∈a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃf(x)dx.
2．当x∈a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－ʃf(x)dx.
3．当x∈a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝ʃf(x)－g(x)]dx.(如图)
探究点一 求不分割型图形的面积
思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.
解 由得交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为
S＝S曲边梯形OABC—S曲边梯形OABD
＝ʃdx－ʃx2dx
＝x|－x3|
＝－＝.
反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)将面积用定积分表示；
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
解 由
得或，
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，
根据图形可得S＝ʃ(－x＋2)dx－ʃ(x2－4)dx
＝(2x－x2)|－(x3－4x)|
＝－(－)＝.
探究点二 分割型图形面积的求解
思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？
答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．
例2 计算由直线y＝x－4，曲线y＝以及x轴所围图形的面积S.
解 方法一 作出直线y＝x－4，曲线y＝的草图．
解方程组
得直线y＝x－4与曲线y＝交点的坐标为(8,4)．
直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)．
因此，所求图形的面积为
S＝S1＋S2
＝ʃdx＋
＝|＋|－(x－4)2|
＝.
方法二 把y看成积分变量，则
S＝ʃ(y＋4－y2)dy＝(y2＋4y－y3)|
＝.
反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练2 求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
解 画出图形，如图所示．
解方程组
及
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝ʃ－(－x)]dx＋ʃ(2－x)－(－x)]dx
＝ʃ(＋x)dx＋ʃ(2－x＋x)dx
＝(x＋x2)|＋(2x－x2＋x2)|
＝＋＋(2x－x2)|
＝＋6－×9－2＋
＝.
探究点三 定积分的综合应用
例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：
切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．
解 如图，设切点A(x0，y0)，
其中x0≠0，
由y′＝2x，过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x，
令y＝0，得x＝，即C(，0)，
设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，
则S＝S曲边△AOB－S△ABC，
∵S曲边△AOB＝ʃx00x2dx＝x3|x00＝x，
S△ABC＝|BC|·|AB|
＝(x0－)·x＝x.
∴S＝x－x＝x＝.
∴x0＝1，
从而切点为A(1,1)，
切线方程为2x－y－1＝0.
反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．
跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝ʃ(x－x2)dx＝|＝.
又
由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，
所以，＝ʃ(x－x2－kx)dx
＝|
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝，
于是k＝1－ ＝1－.
1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝ʃf(x)－g(x)]dx S＝ʃ(2－2x＋8)dx
① ②
S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx
③ ④
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
答案 D
解析 ①应是S＝ʃf(x)－g(x)]dx，
②应是S＝ʃ2dx－ʃ(2x－8)dx，
③和④正确，故选D.
2．曲线y＝cos x(0≤x≤π)与坐标轴所围图形的面积是( )
A．2 B．3 C. D．4
答案 B
解析 S＝cos xdx－cos xdx
＝sin x|－sin x|
＝sin －sin 0－sin ＋sin
＝1－0＋1＋1＝3.
3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为________．
答案
解析 解方程组得
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0)．
∴S＝ʃ(2x－x2)dx＝(x2－x3)|
＝(4－)－0＝.
4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
答案
解析 由图形可得
S＝ʃ(x2＋4－5x)dx＋ʃ(5x－x2－4)dx＝(x3＋4x－x2)|＋
(x2－x3－4x)|
＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝.
呈重点、现规律]
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．
一、基础过关
1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )
A．ʃf(x)dx
B．|ʃf(x)dx|
C．ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx
D．ʃf(x)dx－ʃf(x)dx
答案 D
解析 ∵x∈a，b]时，f(x)<0，x∈b，c]时，f(x)>0，
∴阴影部分的面积S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx.
2．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. B．2 C. D.
答案 C
解析 ∵抛物线方程为x2＝4y，
∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.
如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，
即S＝4－2ʃdx＝＝4－＝.
3．若y＝f(x)与y＝g(x)是a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为( )
A．∫af(x)－g(x)]dx
B．∫ag(x)－f(x)]dx
C．∫a|f(x)－g(x)|dx
D.
答案 C
解析 当f(x)＞g(x)时，
所求面积为∫af(x)－g(x)]dx；
当f(x)≤g(x)时，所求面积为∫ag(x)－f(x)]dx.
综上，所求面积为∫a|f(x)－g(x)|dx.
4．曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于( )
A. B.
C．1 D.
答案 D
解析 函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y轴对称，故所求面积为
S＝2ʃ(1－x2)dx＝2(x－x3)|
＝2×＝.
5．由曲线y＝与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．
答案 ʃ(－x3)dx
解析 画出y＝和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝ʃ(－x3)dx.
6．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝______.
答案
解析 图形如图所示：
S＝ʃx2dx－ʃx2dx
＝ʃx2dx
＝x3|＝.
二、能力提升
7．设f(x)＝则ʃf(x)dx等于( )
A. B.
C. D．不存在
答案 C
解析 数形结合，如图，
ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(2－x)dx
＝x3|＋(2x－x2)|
＝＋(4－2－2＋)＝.
8．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于( )
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 由得x＝0或x＝.
∵0
∴S＝(x2－cx3)dx
＝(x3－cx4)|
＝－＝＝.
∴c3＝.
∴c＝.
9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
答案
解析 根据题意得：S阴＝ʃ3x2dx＝x3|＝1，则点M取自阴影部分的概率为＝＝.
10．求曲线y＝6－x和y＝，y＝0围成图形的面积．
解 作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组得直线y＝6－x与曲线y＝交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)．
因此，所求图形的面积S＝S1＋S2
＝ʃdx＋ʃ(6－x)dx
＝×|＋(6x－x2)|
＝＋(6×6－×62)－(6×2－×22)]
＝＋8＝.
11．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．
解 由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由得两直线交点坐标为C(2,2)，
∴S＝S△ABC－ʃ(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－＝2－＝.
12．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.
(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．
解 (1)设点P的横坐标为t(0
直线OP的方程为y＝tx.
S1＝ʃ(tx－x2)dx＝t3，
S2＝ʃ(x2－tx)dx＝－2t＋t3.
因为S1＝S2，
所以t＝，点P的坐标为(，)．
(2)S＝S1＋S2＝t3＋－2t＋t3
＝t3－2t＋，S′＝t2－2，
令S′＝0得t2－2＝0.
因为0
所以，当t＝时，
S1＋S2有最小值－，
此时点P的坐标为(，2)．
三、探究与拓展
13．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
解 作出y＝x2－2x的图象如图．
(1)当a<0时，
S＝ʃ(x2－2x)dx
＝(x3－x2)|＝－＋a2
＝，
∴(a＋1)(a－2)2＝0.
∵a<0，∴a＝－1.
(2)当a>0时，
①若0
＝－(x3－x2)
＝a2－a3＝，
∴a3－3a2＋4＝0
即(a＋1)(a－2)2＝0.
∵a>0，∴a＝2.
②当a>2时，
S＝－ʃ(x2－2x)dx＋ʃ(x2－2x)dx
＝－(x3－x2)|＋(x3－x2)|
＝－(－4)＋(a3－a2－＋4)
＝＋(a3－a2－＋4)＝.
∴a3－a2＋＝0
∴a>2不合题意．
综上a＝－1，或a＝2.