学业分层测评(十二) 用样本的频率分布估计总体分布
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数
B．频率分布直方图的面积为对应数据的频率
C．频率分布直方图中各小矩形高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比
D．用茎叶图统计某运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39时，茎是指中位数26
【解析】 在频率分布直方图中，横轴表示样本数据；纵轴表示，由于小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于1.
【答案】 C
2．将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如下表所示：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
15
13
12
9
第3组的频率和累积频率为( )
A．0.14和0.37 B．和
C．0.03和0.06 D．和
【解析】 由表可知，第三小组的频率为＝0.14，累积频率为＝0.37.
【答案】 A
3．如图228所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据可知样本落在[15，20)内的频数为( )
图228
A．20 B．30
C．40 D．50
【解析】 样本数据落在[15，20)内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.
【答案】 B
4．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图229所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
图229
A．46，45，56 B．46，45，53
C．47，45，56 D．45，47，53
【解析】 由题意知各数为12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.
【答案】 A
5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图2210，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
图2210
A．45 B．50
C．55 D．60
【解析】 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是＝50.
【答案】 B
二、填空题
6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图2211所示，时速在[50，60)的汽车大约有______辆．
图2211
【解析】 在[50，60)的频率为0.03×10＝0.3，
∴汽车大约有200×0.3＝60(辆)．
【答案】 60
7．(2016·东营高一检测)从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图2212所示，则甲、乙两组的最高成绩分别是________，________，从图中看，________班的平均成绩较高．
图2212
【解析】 由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在60～80之间，乙班成绩集中在70～90之间，故乙班的平均成绩较高．
【答案】 96 92 乙
8．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图2213所示：
图2213
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
【解析】 由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4；数据落在[100，250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以月用电量在[100，250)内的用户数为100×0.7＝70.
【答案】 (1)0.004 4 (2)70
三、解答题
9．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5
2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2．4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4
1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0．5
(1)分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 【导学号：28750037】
图2214
【解】 (1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得
＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制茎叶图如图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．
10．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图2215)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
图2215
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【解】 (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由频率分布直方图可估计，该校高一年级学生的达标率为：
×100%＝88%.
[能力提升]
1．如图2216是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )
图2216
A．甲运动员的成绩好于乙运动员
B．乙运动员的成绩好于甲运动员
C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D．甲运动员的最低得分为0分
【解析】 由茎叶图可以看出甲运动员的成绩主要集中在30至40之间，比较稳定，而乙运动员均匀地分布在10至40之间，所以甲运动员成绩较好．故选A.
【答案】 A
2．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图2217所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )
图2217
【解析】 借助已知茎叶图得出各小组的频数，再由频率＝求出各小组的频率，进一步求出并得出答案．
法一 由题意知样本容量为20，组距为5.
列表如下：
分组
频数
频率
[0，5)
1
0.01
[5，10)
1
0.01
[10，15)
4
0.04
[15，20)
2
0.02
[20，25)
4
0.04
[25，30)
3
0.03
[30，35)
3
0.03
[35，40]
2
0.02
合计
20
1
观察各选择项的频率分布直方图知选A.
法二 由茎叶图知落在区间[0，5)与[5，10)上的频数相等，故频率、也分别相等，比较四个选项知A正确，故选A.
【答案】 A
图2218
3．某校开展“爱我海西，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．
【解析】 当x≤4时，
＝91，
解之得x＝1.当x＞4时，易证不合题意．
【答案】 1
4．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图：(如图2219所示)
分组
频数
频率
一组
0≤t<5
0
0
二组
5≤t<10
10
0.10
三组
10≤t<15
10
②
四组
15≤t<20
①
0.50
五组
20≤t≤25
30
0.30
合计
100
1.00
图2219
解答下列问题：
(1)这次抽样的样本容量是多少？
(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
【解】 (1)样本容量是100.
(2)①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分：
(3)设旅客平均购票用时为t min，则有
≤t
<，
即15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．