(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A．4B．－4
C.D．－
2．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－B.C．2D．6
3．设向量a＝(cosα，)，若a的模长为，则cos2α等于( )
A．－B．－C.D.
4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A.B．2C．4D．12
5．tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°等于( )
A．－B.C．－1D．1
6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )
A．6B．5C．4D．3
7．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos(x－)的图象( )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
8．设函数f(x)＝sin(2x＋)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点(，0)对称
C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数
9．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是( )
A．锐角B．钝角
C．直角D．不确定
10．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
11．设0≤θ≤2π，向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量的模长的最大值为( )
A.B.C．2D．3
12．若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为( )
A.B.C.D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知α、β为锐角，且a＝(sinα，cosβ)，b＝(cosα，sinβ)，当a∥b时，α＋β＝________.
14．已知cos4α－sin4α＝，α∈(0，)，则cos(2α＋)＝________.
15．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·＝________.
16．若θ∈[0，]，且sinθ＝，则tan＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－<θ<.
(1)若a⊥b，求θ；
(2)求|a＋b|的最大值．
18．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若α∈(－，)，f(α＋)＝，求sin(2α＋)的值．
19．(12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x)，x∈R.
(1)若函数f(x)＝1－，且x∈[－，]，求x；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在[0，π]上的图象．
20．(12分)已知x∈R，向量＝(acos2x,1)，＝(2，asin2x－a)，f(x)＝·，a≠0.
(1)求函数f(x)的解析式，并求当a>0时，f(x)的单调增区间；
(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为5，求a的值．
21．(12分)已知函数f(x)＝sin2(x＋)－cos2x－(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)若A为锐角，且向量m＝(1,5)与向量n＝(1，f(－A))垂直，求cos2A的值．
22．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．
模块综合检测(C)
答案
1．B [∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a<0.
∵tan600°＝tan240°＝tan60°＝＝，∴a＝－4.]
2．D [a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]
3．A [∵|a|＝＝，∴cos2α＝.∴cos2α＝2cos2α－1＝－.]
4．B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2.]
5．D [tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°
＝tan(17°＋28°)(1－tan17°tan28°)＋tan17°tan28°
＝1－tan17°tan28°＋tan17°tan28°＝1.]
6．C [∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(6,3)，∵(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30，
∴x＝4.]
7．A [方法一 y＝cos(x－)＝sin(x＋)，向右平移个单位即得y＝sin(x－＋)＝sinx，故选A.
方法二 y＝sinx＝cos(x－)，y＝cos(x－)y＝cos(x－)，无论哪种解法都需要统一函数名称．]
8．C [∵f()＝0，∴A不正确．∵f()＝cos＝≠0，∴B不正确．f(x)向左平移个单位得
f(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x，故C正确．]
9．A [∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B>.∴>A>－B>0.
∵函数y＝sinx，x∈(0，)是递增函数，∴sinA>sin(－B)．即sinA>cosB.
∴p·q＝sinA－cosB>0.
∴p与q所成的角是锐角．]
10．D [f(x)＝(1＋cos2x)＝(1－cos22x)＝－×
＝－cos4x，∴T＝＝，f(－x)＝f(x)，故选D.]
11．D [||＝＝≤＝3.]
12．D [由题意知tan[ω(x－)＋]＝tan(ωx＋)，即tan(ωx＋－)＝tan(ωx＋)．
∴－ω＝kπ＋，得ω＝－6k＋，则ωmin＝(ω>0)．]
13.
解析 ∵a∥b，
∴sinαsinβ－cosαcosβ＝0即cos(α＋β)＝0.
∵0<α＋β<π.∴α＋β＝.
14.－
解析 ∵cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝.
又2α∈(0，π)．∴sin2α＝.
∴cos(2α＋)＝cos2α－sin2α＝－.
15．2
解析 n·＝n·(－)＝n·－n·＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.
16.
解析 ∵sinθ＝2sincos＝＝＝.
∴2tan2－5tan＋2＝0，
∴tan＝或tan＝2.
∵θ∈[0，]，∴∈[0，]．
∴tan∈[0,1]，∴tan＝.
17．解 (1)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0.
由此得tanθ＝－1(－<θ<)，∴θ＝－.
(2)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得
a＋b＝(sinθ＋1,1＋cosθ)，
|a＋b|＝＝＝，
当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，
即当θ＝时，|a＋b|的最大值为＋1.
18．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，
∴T＝2π，则ω＝＝1.∴f(x)＝sin(x＋φ)．
∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0≤φ≤π，∴φ＝，∴f(x)＝cosx.
(2)由已知得cos(α＋)＝.
∵α∈(－，)．∴α＋∈(0，)．
∴sin(α＋)＝.
∴sin(2α＋)＝－sin(2α＋)＝－2sin(α＋)cos(α＋)＝－.
19．解 (1)依题设得f(x)＝2cos2x＋sin2x
＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋)＋1.
由2sin(2x＋)＋1＝1－得sin(2x＋)＝－.
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴2x＋＝－，即x＝－.
(2)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)
得函数单调增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z).
x
0
π
y
2
3
2
0
－1
0
2
20．解 (1)f(x)＝2acos2x＋asin2x－a＝asin2x＋acos2x＝2asin(2x＋)．
当a>0时，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝2asin(2x＋)．
当x∈[0，]时，2x＋∈[，]．
若a>0，当2x＋＝时，
f(x)max＝2a＝5，则a＝；
若a<0，当2x＋＝时，
f(x)max＝－a＝5，则a＝－5.
所以a＝或－5.
21．解 (1)f(x)＝sin2(x＋)－cos2x－
＝[(sinx＋cosx)]2－cos2x－
＝sinxcosx－cos2x－
＝sin2x－－＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小正周期为π，最小值为－2.
(2)由m＝(1,5)与n＝(1，f(－A))垂直，
得5f(－A)＋1＝0，
∴5sin[2(－A)－]－4＝0，即sin(2A－)＝－.
∵A∈(0，)，∴2A－∈(－，)，
∵sin(2A－)＝－<0，
∴2A－∈(－，0)，
∴cos(2A－)＝.
∴cos2A＝cos[(2A－)＋]＝×＋×＝.
22．解 (1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，
∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．
令t＝sinx＋cosx(0
此时sinx＋cosx＝－.
由于0
(2)∵a与b的夹角为，
∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．
∵0<α
∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0.
∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，sin(2α＋)＋2sin2α＝0.
∴sin2α＋cos2α＝0.∴tan2α＝－.