3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
[学习目标]
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
[知识链接]
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．
[预习导引]
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
要点一 复数的概念
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
规律方法 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
跟踪演练1 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
答案 0
解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②是假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得，解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立．
要点二 复数的分类
例2 实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，
且m2＋2m－3≠0，
解得m＝0或m＝－2.
规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当时，z是纯虚数，解得k＝4.
(4)当时，z＝0，解得k＝－1.
要点三 两个复数相等
例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴解得a＝11或a＝－.
规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪演练3 已知x，y均是实数，且满足(x＋y)＋(y－1)i＝2x＋3y＋(2y＋1)i，求x与y.
解 由复数相等的充要条件得x＋y＝2x＋3y且y－1＝2y＋1，解得x＝4，y＝－2.
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B．，5
C．±，5 D．±，1
答案 C
解析 令，得a＝±，b＝5.
2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A．±1 B．±i
C．±i D．±2i
答案 C
3．下列命题正确的是( )
A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i
C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1
D．两个虚数不能比较大小
答案 D
解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，
当a＝0且b≠0时为纯虚数．
在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；
在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；
在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．
4．在下列几个命题中，正确命题的个数为( )
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
答案 B
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.
一、基础达标
1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
答案 B
解析 由题意知，∴m＝0.
2．(2013·青岛二中期中)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D．＋i
答案 A
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A. B．2
C．0 D．1
答案 D
解析 由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
5．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
答案 2 ±2
解析 由z1＝z2得，
解得.
6．(2013·上海)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案 －2
解析 ⇒m＝－2.
7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，
∴解得
所以实数x，y的值分别为，2.
二、能力提升
8．若(x3－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．－1或－2
答案 A
解析 由题意，得解得x＝1.
9．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．π＋(k∈Z)
答案 B
解析 由题意，得，解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________．
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根．
答案 1
解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．
11．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
解得m≠6且m≠－3，所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则，
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
12．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1
13．如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然数m，n的值？
解 因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，
所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，
综上可得m＝0，n＝1