第20课时 向量的数乘运算及其几何意义
课时目标
1.理解向量数乘的定义及规定，掌握向量数乘的几何意义．
2．掌握向量数乘的运算法则，会应用法则进行有关计算．
识记强化
1．向量数乘的运算律
(1)λ(μ)a＝μ(λa)；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa.
课时作业
一、选择题
1．已知λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
答案：C
解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，D三点共线
B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线
D．A，C，D三点共线
答案：A
解析：＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴A，B，D三点共线．
3．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A．－＋
B．－－
C.－
D.＋
答案：A
解析：＝＋＝－＋.
4．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A. B．－
C．－ D.
答案：C
解析：∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案：A
解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
6．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b，∴x＝，y＝.
二、填空题
7．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
答案：
解析：由已知得，解得x＝y＝.
8．下面三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；③若a＝λb，则a与b共线．
正确命题的序号为：________.
答案：③
解析：①a与b所在直线有可能在一条直线上；②若b＝0，λb＝0，∴λ可取任意实数；③正确．
9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.
答案：
解析：由条件＋＝0，知＝－＝，所以点P是边AC的中点．又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以||＝||，故λ＝.
三、解答题
10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．
(1)求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．
解：(1)证明：＝＋＝5e1＋5e2＝5，
∴∥，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
∴，∴k2＝1，∴k＝±1.
11.
如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.
能力提升
12．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部
B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上
D．BC边所在直线上
答案：B
解析：由＝λ＋，得－＝λ，∴＝，则与为共线向量又有一个公共点P，
∴C、P、A三点共线即P点在直线AC上．
13．如图，G是△OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
解：(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)由(1)及＝x，＝y，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy.①
∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)＝＋.②
由①②得＝，
而，不共线，
∴，解得，
∴＋＝3，即＋是定值．