一、选择题
1．(2013·广东改编)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( )
A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0
C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0
答案 D
解析 y′＝4x，设切点M(x0，y0)，∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率k1＝－，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x＝2，即切点为M(1,2)，k＝4.故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故选D.
2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )
A．(－∞，－1)及(0,1) B．(－1,0)及(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞)
答案 A
解析 y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
3．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为( )
A.J B．J
C．J D．2J
答案 C
解析
由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝(5－x2)·cos30°dx＝(5－x2)dx＝＝×＝ (J)．
4． (2012·重庆改编)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
答案 C
解析 使f′(x)＞0的x的取值范围为增区间；使f′(x)＜0的x的取值范围为减区间．
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．[－，]
C．(，＋∞) D．(－，)
答案 B
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤.
6．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．ln2
C． D．e
答案 D
解析 f′(x)＝x(lnx)′＋(x)′·lnx＝1＋lnx，
∴f′(x0)＝1＋lnx0＝2，
∴lnx0＝1，∴x0＝e.
7．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
答案 C
解析 由题意得f′(x)＝，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3；f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln3＜0；又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0.
8．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为( )
A．∫0(sinx－cosx)dx B．2∫0(sinx－cosx)dx
C．∫0(cosx－sinx)dx D．2∫0(cosx－sinx)dx
答案 D
解析
如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
答案 D
解析 ∵f′(x)＝x2sinθ＋x·cosθ，
∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2＝
2sin.
∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，
∴≤sin≤1.∴≤2sin≤2.
10．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数有( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 令f(x)＝2x3－6x2＋7，
∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由f′(x)＞0得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0得0＜x＜2；又f(0)＝7＞0，f(2)＝－1＜0，
f(x)在(0,2)内单调递减，
∴方程在(0,2)内只有一实根．
二、填空题
11．(2013·广东)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
答案 －1
解析 求导得y′＝k＋，依题意k＋1＝0，所以k＝－1.
12．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥3
解析 由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.
13.
已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．
答案 ①④
解析 从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；
当0＜x＜1时，f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．
14．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013的值为________．
答案 －1
解析 ∵y′|x＝1＝n＋1，
∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
所以log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013
＝log2014(x1·x2·…·x2013)
＝log2014＝log2014＝－1.
三、解答题
15．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为y＝16.
16．设
得x1＝0，x2＝a.
f(0)＝b，f(a)＝－＋b,
f(－1)＝－1－a＋b，
f(1)＝1－a＋b.
因为
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
故a＝，b＝1.
17．若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
解 若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，
即12x2－a≥0在上恒成立，
∴a≤12x2在上恒成立，∴a≤(12x2)min＝0.
当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．
∴a＝0符合题意．
若f(x)在上为单调减函数，
则f′(x)≤0在上恒成立，
即12x2－a≤0在上恒成立，
∴a≥12x2在上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±时f′(x)＝0)．因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.
18．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
解 (1)设长为xm，
则宽为m.
据题意
解得≤x≤16.
y＝×400＋×248＋16000
＝800x＋＋16000，
(2)y′＝800－＝0，
解得x＝18.
当x∈(0,18)时，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．
又∵≤x≤16，
∴当x＝16时，ymin＝45000.
当且仅当长为16m、宽为12.5m时，总造价y最低为45000元．