自我小测
1．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
证明过程如下：
∵a，b，c∈R，
∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
又a，b，c不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加，得2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac)，
∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.此证法是( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法并用
D．反证法
2．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
3．要使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是( )
A．|a|≥1且|b|≥1
B．|a|≥1且|b|≤1
C．(|a|－1)(|b|－1)≥0
D．(|a|－1)(|b|－1)≤0
4．使不等式＋＞1＋ 成立的正整数a的最大值是( )
A．13 B．12 C．11 D．10
5．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确的命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．平面内有四边形ABCD和点O，，则四边形ABCD为________．
7．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
8．要证－＞成立，则a，b应满足的条件是________．
9．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：＋＝.
10．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
参考答案
1．解析：由因导果，故为综合法．
答案：B
2．解析：由sin Asin B＜cos Acos B得cos Acos B－sin Asin B＞0，即cos(A＋B)＞0，－cos C＞0，cos C＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．
答案：C
3．解析：a2＋b2－a2b2－1≤0⇔a2(1－b2)＋(b2－1)≤0⇔(b2－1)(1－a2)≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0⇔(|a|－1)(|b|－1)≥0.
答案：C
4．解析：由＜＋－1得a＜(＋－1)2.
而(＋－1)2＝3＋8＋1＋2－2－2
＝12＋4－2－4
≈12.68.
因此使不等式成立的正整数a的最大值为12.
答案：B
5．解析：若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行、相交或异面，③不正确；
若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
答案：A
6．解析：因为，
所以，
所以，故四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
7．解析：由条件知lg xy＝lg(x－2y)2，
∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
即2－5＋4＝0，
∴＝4或＝1.
又x＞2y，故＝4，
∴＝＝4.
答案：4
8．解析：要证－＜，
只需证(－)3＜()3，
即a－b－3＋3＜a－b，
即3－3＞0，
即(－)＞0.
故所需条件为
或
即ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b.
答案：ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
9．证明：要证＋＝，
只需证＋＝3.
即证＋＝1，
即c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
只需证c2＋a2＝ac＋b2.
∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，
∴c2＋a2＝ac＋b2.命题得证．
10．证明：(1)设AC，BD的交点为G，
连接EG，因为EF∥AG，且EF＝1，
AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形，
所以AF∥EG.
因为EG⊂平面BDE，AF平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF，
所以CF⊥BD．
又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.