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考前过关训练(三)
导数及其应用
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2016·临沂高二检测)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程是 ( )
A.y=3x-1 B.y=-3x+5
C.y=3x+5 D.y=2x
【解析】选A.y′=-3x2+6x,曲线在点(1,2)处的切线斜率k=-3×12+6×1=3,又切线过点(1,2),则切线方程为y-2=3(x-1),整理得:y=3x-1.
【补偿训练】若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程
为 ( )
A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0
【解析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0,即y=x4在某一点的导数为4.而y′=4x3,所以y=x4在(1,1)处导数为4,此点处的切线方程为4x-y-3=0.
2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为 ( )
【解析】选D.原函数的单调性是:当x<0时,增;当x>0时,单调性变化依次为增、减、增.故当x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)的符号变化依次为+,-,+.
3.如图所示是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则+等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由图象知f(x)=0的根为0,1,2,
所以d=0.
所以f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c).
所以x2+bx+c=0的两根为1和2.
所以b=-3,c=2.
所以f(x)=x3-3x2+2x,则f′(x)=3x2-6x+2.
因为x1,x2是方程f′(x)=0的两根,
所以x1+x2=2,x1x2=.
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=22-2×=.
4.(2016·聊城高三模拟)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足
xf′(x)+f(x)≤0对任意正数a,b,若a
C.af(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b)
【解析】选C.设g(x)=xf(x),
则由g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0,
知g(x)在(0,+∞)上递减.
又0
所以af(b)≤bf(a).
5.(2016·山东高考)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两
点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是
( )
A.y=sinx B.y=lnx
C.y=ex D.y=x3
【解题指南】利用基本初等函数的导数公式,求导后,表示出两“切线”的斜率,判断它们的乘积是否为-1.
【解析】选A.对于A,函数y=sinx,y′=cosx,设图象上存在这样两点(x1,sinx1),(x2,sinx2),那么两切线的斜率k1=cosx1,k2=cosx2,令k1·k2=cosx1·cosx2=-1,则x1=2kπ,x2=2kπ+π(x2=2kπ,x1=2kπ+π),k∈Z,即存在这样的两点,所以具有T性质.
对于B,函数y=lnx,y′=,k1·k2=·,而x1>0,x2>0,所以k1·k2≠-1,所以函数y=lnx不具有T性质.
对于C,函数y=ex,y′=ex,k1=,k2=,显然均大于0.所以函数y=ex不具有T性质.
对于D,函数y=x3,y′=3x2,k1=3,k2=3,显然k1·k2≠-1,所以函数y=x3不具有T性质.
6.把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为 ( )
A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π
【解析】选C.设圆柱高为x,即长方形的宽为x,
则圆柱底面周长即长方形的长为=6-x,
所以圆柱底面半径:R=,
所以圆柱的体积V=πR2h=πx
=,
所以V′==,
当x<2或x>6时,V′>0,函数单调递增;
当2
所以x=2时体积最大,此时底面周长=6-2=4,
该圆柱底面周长与高的比:4∶2=2∶1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2016·海南高二检测)函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是 .
【解析】要使f′(x)=3ax2+1=0有解,
则x2=->0,
所以函数f(x)有极值的充要条件是a<0.
答案:a<0
8.(2016·武汉高二调研)若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是 .
【解析】因为y′=-4x2+a,且y有三个单调区间,
所以方程y′=-4x2+a=0有两个不等的实根,
所以Δ=02-4×(-4)×a>0,
所以a>0.
答案:(0,+∞)
9.(2016·温州高二检测)函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是 .
【解析】因为y′=2x,所以点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.
答案:21
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-2时,都取得极值.
(1)求a,b的值.
(2)若x∈时,都有f(x)>-恒成立,求c的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=3x2+2ax+b,
根据题意有
即
解得
(2)由 (1)知f′(x)=3x2+3x-6,
令f′(x)=0得x=-2或x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-3
(-3,-2)
-2
(-2,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
+c
↗
极大值
c+10
↘
极小值
c-
↗
2+c
所以f(x)在上的最小值为c-.
即-
11.已知函数f(x)=x2+lnx.
(1)求函数f(x)在上的最大值与最小值.
(2)求证:在区间上,f′(x)>0,
所以函数f(x)是增函数,
所以f(x)max=f(e)=e2+1,f(x)min=f(1)=.
(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-x3,
则F′(x)=x+-2x2=.
因为当x>1时,F′(x)<0,
所以函数F(x)在(1,+∞)上为减函数,
又因为F(x)max=F(1)=-<0,
所以在[1,+∞)上,恒有F(x)<0,
即f(x)
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