学业分层测评（二十二）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
【解析】 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，
可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．
【答案】 A
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是( )
A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0
【解析】 ∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0.
【答案】 D
3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是( )
A.π B.π
C．3π D．不存在
【解析】 所给圆的半径为
r＝＝.
所以当m＝－1时，
半径r取最大值，此时最大面积是π.
【答案】 B
4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
【解析】 把圆x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则＝，解得a＝2，或a＝0.故选C.
【答案】 C
5．(2016·惠州高一检测)若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
【解析】 线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．
【答案】 C
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
【导学号：09960136】
【解析】 由题意可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，将代入直线方程得－1－＋2＝0，解得a＝－2.
【答案】 －2
7．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．
【解析】 设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得
所以
点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，
化简得2＋2＝，即为点Q的轨迹方程．
【答案】 2＋2＝
三、解答题
8．(2016·吉林高一检测)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
【解】 圆心C，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，
所以所以圆的一般方程为：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
9．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程．
【解】
如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，
则有即N(x＋3，y－4)．
又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此，点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和.
[自我挑战]
10．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A、B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m等于( )
【导学号：09960137】
A．1 B．－3
C．0 D．2
【解析】 设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，
由根与系数的关系及判别式得
又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，
即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，
代入上面的结果得m－2＋1＝－4，
∴m＝－3，符合m<1的条件．
【答案】 B
11．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．
【解】 (1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
∴圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组
即2a＋b＝2.
∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．