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考前过关训练(二)
圆锥曲线与方程
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题4分,共24分)
1.(2015·湖南高考)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e==.
【补偿训练】(2016·长沙高二检测)已知椭圆C:+ =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,若PF1⊥PQ,则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率.
【解析】选C.连接OA,PF1,
则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,可得OA∥PF1,
所以A为线段PF2的中点,
于是PF1=2b.
结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,
在直角三角形PF1F2中,
利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,
将c2=a2-b2代入,
整理可得b=a,
于是e====.
2.(2016·南昌高二检测)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.
【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,
可设A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,
故a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1.
3.(2016·广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选C.设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0),因为双曲线以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2),
所以
解之得a2=20,b2=16,
因此,该双曲线的标准方程为-=1.
4.(2016·西安高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.依题意:a=b=,所以c=2.
因为|PF1|=2|PF2|,则设|PF2|=m,则|PF1|=2m,
又|PF1|-|PF2|=2=m.
所以|PF1|=4,|PF2|=2.
又|F1F2|=4,
所以cos∠F1PF2==.
5.(2016·桂林高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为 ( )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=4x
【解析】选A.设抛物线的准线与x轴的交点为D,依题意,F为线段AB的中点,
故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,
|AB|=2|AF|=2|AC|=4p,
所以∠ABC=30°,||=2p,
·=4p·2p·cos30°=48,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
6.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点.若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率e的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,设左焦点为N
连接AF,AN,BN,BF,
所以:四边形AFBN为长方形.
根据椭圆的定义得|AF|+|AN|=2a,
∠ABF=α,则∠ANF=α.
所以:2a=2ccosα+2csinα
利用e===,
α∈,
所以≤α+≤,
则≤≤-1,
即椭圆离心率e的取值范围为.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 .
【解题指南】本题考查了双曲线的知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.
【解析】由题意知==b,
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,
即(c,-b),代入双曲线方程为-=1,得=2,
所以==1,所以渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
【补偿训练】若曲线+=1的焦距与k无关,则它的焦点坐标是 .
【解析】因为k+5>k-2,
又曲线+=1的焦距与k无关,
所以k+5>0,k-2<0,曲线是焦点在y轴上的双曲线,且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦点坐标为(0,±).
答案:(0,±)
8.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为 .
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则
①-②,得+=0,
又点P(1,1)是AB的中点,
所以x1+x2=2,y1+y2=2,
所以+=0,
从而+y1-y2=0,
又x1≠x2,所以直线l的斜率k==-.
答案:-
9.(2016·重庆高二检测)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可.
【解析】由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60°,所以直线方程为y=±x或y=±x.又因为有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足<≤,解得
三、解答题(每小题12分,共24分)
10.(2016·衡水高二检测)已知A,B,C均在椭圆M:+y2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2,当·=0时,有9·=.
(1)求椭圆M的方程.
(2)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求·的最大值.
【解析】(1)因为·=0,所以有⊥,
所以△AF1F2为直角三角形,
所以||cos∠F1AF2=||,
因为9·=,
所以9·=9||||cos∠F1AF2
=9||2==||2,
所以||=3||,
又||+||=2a,
所以||=,||=,
在Rt△AF1F2中,
有||2=||2+||2,
即=+4(a2-1),
解得a2=2,椭圆M的方程为+y2=1.
(2)·=(-)·(-)
=(--)·(-)=(-)2-=-1,从而将求·的最大值转化为求的最大值,P是椭圆M上的任一点,设P(x0,y0),则有+=1,即=2-2,
又N(0,2),所以=+(y0-2)2=-(y0+2)2+10,
而y0∈,所以当y0=-1时,取最大值9,
故·的最大值为8.
【补偿训练】设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线的方程.
【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5求得p.
【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,
所以直线BO的斜率为-,即直线BD的方程为y=-x,
把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为,
把直线y=-x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,
所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,
因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.
11.(2016·郑州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C.
(1)当直线l的斜率是时,=,求抛物线G的方程.
(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知得,当k1=时, l方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得又因为=,所以y2=y1或y1=4y2.
由p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线G的方程为x2=4y.
(2)由题意知l的斜率存在.设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),
由得x2-4kx-16k=0.①
所以x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.
所以BC的垂直平分线的方程为
y-2k2-4k=-(x-2k),
所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,
对于方程①由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.
所以b∈(2,+∞).
所以b的取值范围为(2,+∞).
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