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课时提升作业 二十
几个常用函数的导数
与基本初等函数的导数公式
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于 ( )
A.2 B.4 C. D.
【解析】选A.y′=2x,则切线的斜率为2a,
所以曲线y=x2在点(a,a2) (a>0)处的切线方程为y-a2=2a·(x-a),即y=2ax-a2.
令x=0得y=-a2,令y=0得x=,
所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为
×a2×=2,解得a=2,故选A.
2.(2016·海南高二检测)已知函数f(x)=,则f′(-2)= ( )
A.4 B. C.-4 D.-
【解题指南】利用常用函数的导数公式进行计算.
【解析】选D.因为f(x)=,所以f′(x)=-,
所以f′(-2)=-=-.
3.(2016·临沂高二检测)若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
【解析】选B.因为f(x)= f′(-1)x2-2x+3,
所以f′(x)=f′(-1)x-2.
所以f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2,
所以f′(-1)=-1.
4.质点做直线运动的方程是s=,则质点在t=3时的速度是(位移单位:m,时间单位:s) ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为s==,
所以s′=,当t=3时,
s′=·=.
5.(2016·保定高二检测)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率
为 ( )
A.e B.-e C. D.-
【解析】选C.y′=,设切点为(x0,lnx0)(x0>0),
则k=y′=,切线方程为y-lnx0=(x-x0).
因为切线过点(0,0),
所以-lnx0=-1,解得x0=e,故k=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·临沂高二检测)曲线y=x2在x=处的切线的倾斜角α为 .
【解析】由y=x2,得y′=2x,
y′=1,因此斜率k=1,
所以α=45°.
答案:45°
7.(2016·青岛高二检测)曲线y=在点(1,1)处的切线方程是 .
【解析】由y=,得y′=,
所以斜率k=y′=,
所以切线方程为y-1=(x-1),
即x-2y+1=0.
答案:x-2y+1=0
【补偿训练】(2014·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 .
【解析】因为y′=-5ex,所以在点(0,-2)处的切线斜率为-5,所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.
答案:5x+y+2=0
8.(2016·石家庄高二检测)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 .
【解析】y′==≥-1,
即tanα≥-1且tanα<0,所以≤α<π.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·洛阳高二检测)若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.
【解析】由于f(x)=,
所以f(c)=,
又f′(x)==,
所以f′(c)=.
由题意知f(c)+f′ (c)=0,
所以+=0,
所以2c-1=0,得c=.
10.(2016·郑州高二检测)试求过点P(2,-1)且与曲线y=x2相切的直线的方程.
【解题指南】先判断所给点是否在曲线上,若不在曲线上,则需设出切点坐标,然后利用斜率相等,列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
【解析】由题意知点P(2,-1)不是曲线y=x2上的点,即点P不是切点,设切点为M(x0,y0),则y0=,①
因为y′=2x,所以y′==2x0.
又kPM=,所以2x0=.②
由①②解得x0=2+或x0=2-.
当x0=2+时,切线斜率k=2x0=4+2.
此时切线方程为y+1=(4+2)(x-2),
即(4+2)x-y-9-4=0.
当x0=2-时,切线斜率k=2x0=4-2,
此时切线方程为y+1=(4-2)(x-2),
即(4-2)x-y-9+4=0.
所以切线方程为(4+2)x-y-9-4=0或(4-2)x-y-9+4=0.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·石家庄高二检测)若曲线y=f(x)=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于 ( )
A.64 B.32 C.16 D.8
【解析】选A.由题得f′(a)=-,
切线方程为y-=-(x-a),
令y=0,得x=3a,
令x=0,得y=.
所以切线与两坐标轴交点分别为A(3a,0),B,
又因为a>0,
所以S△OAB=×3a×==18.
所以a=64.
2.(2016·烟台高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=
f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2016(x)= ( )
A.sinx B. -sinx C. cosx D.-cosx
【解析】选A.因为f0(x)=sinx,
所以f1(x)=(sinx)′=cosx,
f2(x)=(cosx)′=-sinx,
f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,…,所以fn(x)的周期T=4,所以f2016(x)=f0(x)=sinx.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·洛阳高二检测)已知f(x)=cosx,g(x)=x,则关于x的不等式f′(x)+
g′(x)≤0的解集为 .
【解析】f′(x)+g′(x)=-sinx+1≤0,
所以sinx≥1,
又sinx≤1,
所以sinx=1,
所以x=+2kπ,k∈Z.
答案:
4.(2015·陕西高考)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为 .
【解题指南】利用y=ex在某点处的切线与另一曲线的切线垂直求得另一曲线的切线的斜率,进而求得切点坐标.
【解析】由f′(x)=ex,得f′(0)=e0=1.
又y=ex在(0,1)处的切线与y=(x>0)上点P处的切线垂直,所以点P处的切线斜率为-1.
又y′=-,设点P(x0,y0),所以-=-1,x0=±1,由x0>0,得x0=1,y0=1,
所以点P的坐标为(1,1).
答案:(1,1)
【补偿训练】曲线y=和y=x2在它们交点A处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 .
【解析】由得交点的坐标为(1,1).
由y=x2得y′=2x,
所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
由y=得y′=-,
所以曲线y=在点(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2.
如图所示,xB=,xC=2.
S△ABC=××1=.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知曲线y=5,求:
(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.
(2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程.
【解题指南】设切点坐标为(x0,y0),求曲线在此点处的导数y′.
(1)利用y′=2,求切点坐标,进而求切线方程.
(2)利用斜率相等,求切点坐标,进而求切线方程.
【解析】(1)设切点为(x0,y0),由y=5,得y′=.
所以切线与y=2x-4平行,
所以=2,所以x0=,所以y0=.
则所求切线方程为y-=2,
即16x-8y+25=0.
(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5上,
故需设切点坐标为M(x1,y1),
则切线斜率为.
又因为切线斜率为,
所以==,
所以2x1-2=x1,得x1=4.
所以切点为M(4,10),斜率为,
所以切线方程为y-10=(x-4),
即5x-4y+20=0.
6.已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.
【解析】因为f(x)=,g(x)=alnx,
所以f′(x)=,g′(x)=.
设f(x),g(x)的交点为(x0,y0),
则由已知得解得
所以切线斜率k=f′(x0)=f′(e2)=,切点为(e2,e),
所以切线方程为y-e=(x-e2),即x-2ey+e2=0.
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