学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5 B.
C．3 D.
【解析】 z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.
【答案】 A
2．i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
【解析】 ＝＝＝1－i，故选A.
【答案】 A
3．z1，z2是复数，且z＋z<0，则正确的是( )
A．z<－z
B．z1，z2中至少有一个是虚数
C．z1，z2中至少有一个是实数
D．z1，z2都不是实数
【解析】 取z1＝1，z2＝2i满足z＋z<0，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足z＋z<0，排除C，从而选B.
【答案】 B
4．若z＋＝6，z·＝10，则z＝( )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.
【答案】 B
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
【导学号：19220050】
A. B.
C．1 D．2
【解析】 法一：z＝＝＝
＝＝－＋i，∴＝－－i.
∴z·＝
＝＋＝.
法二：∵z＝
∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
【答案】 A
二、填空题
6．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.
【解析】 由题意，得x＋i＝＝＝＝2＋i，
所以x＝2.
【答案】 2
7．(2016·天津高二检测)复数的共轭复数是________．
【解析】 ＝＝＝2＋i，其共轭复数为2－i.
【答案】 2－i
8．复数的模为，则实数a的值是________．
【解析】 ＝＝＝，解得a＝±.
【答案】 ±
三、解答题
9．(2016·唐山高二检测)若z满足z－1＝(1＋z)i，求z＋z2的值.
【导学号：19220051】
【解】 ∵z－1＝(1＋z)i，
∴z＝＝＝－＋i，
∴z＋z2＝－＋i＋2＝－＋i＋＝－1.
10．(2016·天津高二检测)已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
【解】 (1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，
所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[能力提升]
1．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2
C. D.
【解析】 ∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，
∴|z|＝＝.
【答案】 C
2．设z的共轭复数为，z＝1＋i，z1＝z·，则＋等于( )
A.＋i B.－i
C. D.
【解析】 由题意得＝1－i，∴z1＝z·＝(1＋i)(1－i)＝2.
∴＋＝＋＝－＝.
【答案】 C
3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．
①|z－|＝2y；
②z2＝x2＋y2；
③|z－|≥2x；
④|z|≤|x|＋|y|.
【解析】 对于①，＝x－yi(x，y∈R)，
|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，
故不正确；
对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；
对于③，|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；
对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，故正确．
【答案】 ④
4．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
【解】 由z2＋<0可知z2＋是实数且为负数．
z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i<0，
∴
∴m＝4，∴a＝4i.