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课时提升作业 三
合情推理
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{an}的一个通项公式为an= ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想an=.
2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )
A.空间中平行于同一直线的两条直线平行
B.空间中平行于同一平面的两条直线平行
C.空间中平行于同一直线的两个平面平行
D.空间中平行于同一平面的两个平面平行
【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.
3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是 ( )
A.白色 B.黑色
C.白色的可能较大 D.黑色的可能性较大
【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.
4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是 ( )
A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”
B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”
C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”
D.“(ab)n=anbn”类比出“(a+b)n=an+bn”
【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.
5.(2016·天津高二检测)在等差数列{an}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{bn}中,若b9=1,则成立的等式是 ( )
A.b1b2…bn=b1b2…b17-n (n<17,n∈N*)
B.b1b2…bn=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)
C.b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)
D.b1+b2+…+bn=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)
【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①
b7b8b9b10b11=1……②
由①得 b1b2……b7=b1b2……b10,
由②得 b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·陕西高考)观察下列等式:
1-=
1-+-=+
1-+-+-=++
…
据此规律,第n个等式可为________.
【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.
所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.
答案:1-+-+…+-=++…+
7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为
_________________.
【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.
【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为.
答案:1+++…+<
8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用
S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积VA -BCD=________.
【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积
S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得
VA-BCD=R
答案:R
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.
这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.
【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:
弦↔截面圆,
直径↔大圆,
周长↔表面积,
圆面积↔球体积,等.
于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等;
与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆是等圆;
与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于经过切点的半径;
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于经过切点的半径;
经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
圆的周长c=πd(d为圆的直径)
球的表面积S=πd2(d为球的直径)
圆的面积S=πr2(r为圆的半径)
球的体积V=πr3(r为球的半径)
10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.
【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),
因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.
同理,y2=x2-b2.
则kPM·kPN=·==·=(定值).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:
①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;
②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;
③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;
④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.
其中,正确结论的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.
2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则在表中的数字2016出现在 ( )
A.第44行第81列 B.第45行第81列
C.第44行第80列 D.第45行第80列
【解析】选D.第n行有2n-1个数,
前n行共有n2个数.
因为442=1936,452=2025,
而1936<2016<2025,
故2016在第45行.
又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,
所以2016在89-9=80列.故选D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.
【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.
答案:f(2n)≥
4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.
【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).
所以=(c,b),=(-a,b),
因为⊥,所以·=b2-ac=0,
即c2-a2-ac=0,
两边同除a2得e2-e-1=0,
解得e=或e=(舍去)
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(xn-1,0)的连线与直线y=x交于点Pn(xn,yn).
(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想Pn的坐标.
【解析】(1)由方程组得P1.
过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.
(2)由(1)可猜想Pn.
6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.
这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.
++=++==1.
请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.
【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.
【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H点,
则+++=1.
证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则
===.
同理有:=;
=;
=,
所以+++
==1.
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