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课时提升作业 十三
双曲线的简单几何性质
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的
是 ( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.-x2=1 D.y2-=1
【解析】选C.由题意知,选项A,B的焦点在x轴上,故排除A,B,C项的渐近线方程为y=±2x.
2.(2016·合肥高二检测)点P为双曲线C1:-=1(a>0,b>0)和圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2为双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为 ( )
A. B.1+ C.+1 D.2
【解题指南】由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,故∠PF1F2=30°,∠PF2F1=
60°.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=2m.由e==,能求出双曲线的离心率.
【解析】选C.由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,
所以∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.
设|PF2|=m,
则|PF1|=m,
|F1F2|=2m.
e===
=+1.
【补偿训练】双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为 ( )
A.2 B. C. D.
【解析】选C.依题意·=-1,所以a2=b2.
则e2===2,所以e=.
3.(2016·宁波高二检测)与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选D.设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),把(-3,2)代入方程得-=λ,所以λ=.
故双曲线方程为-=,即-=1.
4.设a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是 ( )
A.(,2) B.(,)
C.(2,5) D.(2,)
【解析】选B.e2==++2=+1,
因为a>1,所以0<<1,1<+1<2,
所以2
A.-4 B.- C.1 D.0
【解题指南】根据题意,设P(x,y)(x≥1),根据双曲线的方程,易得A1,F2的坐标,将其代入·中,可得关于x,y的关系式,结合双曲线的方程,可得·的二次函数,由x的范围,可得答案.
【解析】选A.根据题意双曲线x2-=1,设P(x,y)(x≥1),
易得A1(-1,0),F2(3,0),
·=(-1-x,-y)·(3-x,-y)=x2-2x-3+y2,
又x2-=1,故y2=8(x2-1),
于是·=9x2-2x-11=9-.
当x=1时,取到最小值-4.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·山东高考)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.
【解析】假设点A在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得A,代入双曲线方程-=1,
可得-=1,所以e2-1=,又e>1,所以可求得e=2.
答案:2
7.(2016·菏泽高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°,若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,则k= .
【解析】因为以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°,
所以△OF1A是等边三角形,
所以|AF1|=c,|AF2|=c,
所以2a=|AF2|-|AF1|=(-1)c,
所以e===+1,
因为双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,
所以k=2.
答案:2
8.(2016·厦门高二检测)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为 .
【解析】设椭圆C1的方程为+=1(a1>b1>0),
由已知得所以
所以焦距为2c1=10.
又因为8<10,所以曲线C2是双曲线.设其方程为
-=1(a2>0,b2>0),
则a2=4,c2=5,所以=52-42=32=9,
所以曲线C2的方程为-=1.
答案:-=1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为x+y=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.
【解析】椭圆方程为+=1,
所以椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
所以解得.
所以双曲线的标准方程为-=1.
②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a′>0,b′>0),
所以解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
由①②可知,双曲线的标准方程为-=1或-=1.
10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).
(1)求此双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求证:·=0.
【解析】(1)因为离心率e==,所以a=b.
设双曲线方程为x2-y2=n(n≠0),
因为点(4,-)在双曲线上,
所以n=42-(-)2=6.
所以双曲线方程为x2-y2=6.
(2)因为点M(3,m)在双曲线上,故m2=3.
又点F1(-2,0),
点F2(2,0),
所以·=·=-=-1.
所以·=0.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2014·重庆高考)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率
为 ( )
A. B. C. D.3
【解析】选B.由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2,又4|PF1|·|PF2|=9ab,因此9b2-4a2=9ab,即9--4=0,则=0,解得=,则双曲线的离心率e==.
2.(2016·唐山高二检测)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.3x±4y=0 B.4x±3y=0 C.3x±5y=0 D.5x±4y=0
【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由
cos∠PF1F2=,求出的值.
【解析】选B.作F2Q⊥PF1于点Q,
因为|F1F2|=|PF2|,所以点Q为PF1的中点,
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,
因为cos∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,
即=,得3c=5a,
所以3=5a,得=,
故双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·深圳高二检测)已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=x,其中{an}是以4为首项的正数数列,则数列{an}的通项公式是 .
【解析】双曲线即:-=1.
因为{an}是以4为首项的正数数列,一条渐近线方程为y=x,
所以=,=2,所以an=4·2n-1=2n+1.
答案:an=2n+1
4.(2016·重庆高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为 .
【解析】由双曲线的定义知,
(|PF1|-|PF2|)2=4a2,
又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,
所以4a2=b2-3ab,
等号两边同除以a2,
化简得-3·-4=0,
解得=4或=-1(舍去),
故离心率
e=====.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线离心率e的取值范围.
【解析】设直线l的方程为+=1,
即bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式,且a>1,得点(1,0)到直线l的距离d1=,点(-1,0)到直线l的距离d2=.
所以s=d1+d2==.
由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.
因为e=,所以5≥2e2,
所以25(e2-1)≥4e4,
即4e4-25e2+25≤0,
所以≤e2≤5(e>1).所以≤e≤,
即e的取值范围为.
6.(2016·青岛高二检测)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.
【解析】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,
因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.
所以双曲线的渐近线方程为3x±y=0.
当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
则其渐近线方程为y=±x,即=3,
则双曲线方程可化为-=1,
因为双曲线过点P(3,-1),
所以-=1,所以a2=,b2=80,
所以所求双曲线方程为-=1.
当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a′>0,b′>0),
则渐近线方程为y=±x,即=3,
则双曲线方程可化为-=1,
因为双曲线过点P(3,-1),
所以-=1,得-=1,无解.
综上可知所求双曲线方程为-=1.
【一题多解】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.
因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.
所以双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0,
设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0),
因为点P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80.
所以所求双曲线方程为-=1.
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