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  • 高中数学必修5配套练习 不等关系与不等式 第2课时

    2020-12-01 高三上册数学人教版

    第三章 3.1 第2课时
    一、选择题
    1.若x>1>y,下列不等式不成立的是(  )
    A.x-1>1-y      B.x-1>y-1
    C.x-y>1-y  D.1-x>y-x
    [答案] A
    [解析] 特殊值法.令x=2,y=-1,则x-1=2-1<1-(-1)=1-y,故A不正确.
    2.设a=100.1, b=0.110,c=lg0.1,则a,b,c的大小关系是(  )
    A.ab>c
    C.b>a>c  D.c>a>b
    [答案] B
    [解析] ∵100.1>100,∴100.1>1.
    又∵0.110<0.10,∴0<0.110<1.
    ∵lg0.1∴a>1,0b>c,选B.
    3.设a+b<0,且a>0,则(  )
    A.a2<-abC.a2[答案] A
    [解析] ∵a+b<0,且a>0,∴0∴a2<-ab4.已知a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是(  )
    A.a2>a>-a2>-a  B.-a>a2>-a2>a
    C.-a>a2>a>-a2  D.a2>-a>a>-a2
    [答案] B
    [解析] ∵a2+a<0,∴0-a2>a,
    ∴a<-a2[点评] 可取特值检验,∵a2+a<0,即a(a+1)<0,令a=-,则a2=,-a2=-,-a=,∴>>->-,即-a>a2>-a2>a,排除A、C、D,选B.
    5.设a,b∈R,则(a-b)·a2<0是aA.充分非必要条件  B.必要非充分条件
    C.充要条件  D.既不充分也不必要条件
    [答案] A
    [解析] 由(a-b)·a2<0得a≠0且a6.如果a>0,且a≠1,M=loga(a3+1),N=loga(a2+1),那么(  )
    A.M>N  B.M<N
    C.M=N  D.M、N的大小无法确定
    [答案] A
    [解析] M-N=loga(a3+1)-loga(a2+1)=loga,若a>1,则a3>a2,∴>1,∴loga>0,∴M>N,若00,∴M>N,故选A.
    二、填空题
    7.已知a>b>0,且c>d>0,则与的大小关系是________.
    [答案] >
    [解析] ∵c>d>0,∴>>0,
    ∵a>b>0,∴>>0,
    ∴>.
    8.若a、b、c、d均为实数,使不等式>>0和ad[答案] (2,1,-1,-2)
    [解析] 由>>0知,a、b同号,c、d同号,且-=>0.
    由ad所以在取(a,b,c,d)时只需满足以下条件即可:
    ①a、b同号,c、d同号,b、d异号;
    ②ad令a>0,b>0,c<0,d<0,
    不妨取a=2,b=1,c=-1,
    则d<=-,
    取d=-2,
    则(2,1,-1,-2)满足要求.
    三、解答题
    9.已知a>0,b>0,a≠b,n∈N且n≥2,比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
    [解析] (an+bn)-(an-1b+abn-1)=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1),
    (1)当a>b>0时,an-1>bn-1,∴(a-b)(an-1-bn-1)>0,
    (2)当0<a<b时,an-1<bn-1,∴(a-b)(an-1-bn-1)>0,
    ∴对任意a>0,b>0,a≠b,总有(a-b)(an-1-bn-1)>0.∴an+bn>an-1b+abn-1.
    10.如果30<x<42,16<y<24.分别求x+y、x-2y及的取值范围.
    [解析] 46<x+y<66;-48<-2y<-32,
    ∴-18<x-2y<10;
    ∵30即<<.
    一、选择题
    1.若-<α<β<,则α-β的取值范围是(  )
    A.(-π,π)  B.(0,π)
    C.(-π,0)  D.{0}
    [答案] C
    [解析] ∵-<β<,∴-<-β<,
    又-<α<,∴-π<α-β<π,
    又α<β,∴α-β<0,∴-π<α-β<0.
    2.(2014·天津理,7)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(  )
    A.充分不必要条件  B.必要不充分条件
    C.充要条件  D.既不充分也不必要条件
    [答案] C
    [解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性.
    当a>b>0时,a|a|-b|b|=a2-b2=(a+b)(a-b)>0成立,
    当b0成立,
    当b<00成立,
    ∴a>b⇒a|a|>b·|b|;
    同理由a|a|>b|b|⇒a>b.选C.
    3.若a>b>0,则下列不等式中总成立的是(  )
    A.>  B.a+>b+
    C.a+>b+  D.>
    [答案] C
    [解析] 解法一:由a>b>0⇒0<<⇒a+>b+,故选C.
    解法二:(特值法)令a=2,b=1,排除A、D,再令a=,b=,排除B.
    4.若<<0,给出下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④+>2.其中正确的有(  )
    A.1个  B.2个
    C.3个  D.4个
    [答案] B
    [解析] ∵<<0,∴a<0,b<0,a>b,故③错;
    ∴ab>0,∴a+b<0又0>a>b,∴|a|<|b|.∴②错;
    ∵+===+2
    且a-b<0,ab>0,∴+>2,∴④成立.
    ∴①④正确.选B.
    二、填空题
    5.若规定=ad-bc(a、b∈R,a≠b),则与的大小关系为________.(填“>”“=”“<”)
    [答案] >
    [解析] ∵=a2+b2,
    =ab-(-ab)=2ab,
    ∴-=a2+b2-2ab=(a-b)2.
    ∵a≠b,∴(a-b)2>0,
    ∴>.
    6.若a>b>c,则+________(填“>”、“=”、“<”).
    [答案] >
    [解析] ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>,a-c>0.
    ∴+-


    =>0.
    ∴+>.
    三、解答题
    7.设a>0,a≠1,t>0比较logat与loga的大小.
    [解析] logat=loga,
    ∵-==,
    ∴当t=1时,=;当t>0且t≠1时.>.
    ∵当a>1时,y=logax是增函数,
    ∴当t>0且t≠1时,loga>loga=logat.
    当t=1时,loga=logat.
    ∵当0<a<1时,y=logax是减函数,
    ∴当t>0且t≠1时,loga<loga=logat,
    当t=1时,loga=logat.
    综上知,当t=1时,loga=logat;当t>0且t≠1时,若a>1则loga>logat;若0<a<1则loga<logat.
    8.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
    [解析] ∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f(-2)=4a-2b.
    又∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,
    ∴,
    设存在实数m、n使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b),
    即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b.
    ∴,
    解得.
    ∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).
    又∵3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,
    ∴3+3≤4a-2b≤4+6,
    即6≤f(-2)≤10.
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