课时跟踪检测(三) 简单曲线的极坐标方程
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝1表示( )
A．直线 B．射线 C．圆 D．半圆
解析：选C ∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.∴表示圆．
2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ表示的曲线为( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
解析：选B 由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ，
∴x2＋y2＝y＋2x，即x2＋y2－2x－y＝0，表示圆．
3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( )
A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆
B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆
C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆
D．以点为圆心，3为半径的圆
解析：选C 由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，即x2＋y2－6x＝0，
表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆．
4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )
A．ρ＝2cos B．ρ＝2sin
C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)
解析：选C 在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
二、填空题
5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．
解析：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.
答案：ρ＝4sin θ
6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ－2sin θ，θ∈，则圆心的极坐标是________．
解析：设圆心为(a，β)(a>0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos(θ－β)．
因为ρ＝2cos θ－2sin θ＝4cos
＝4cos＝4cos，
所以此圆的圆心的极坐标为.
答案：
7．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，
即x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4，
∴圆心C(2,0)，
又由点P的极坐标为可得点P的直角坐标为(2,2)，
∴|CP|＝ ＝2.
答案：2
三、解答题
8．求极坐标方程ρ＝所对应的直角坐标方程．
解：ρ＝可化为ρ＝，
即ρ＝.
化简，得ρ＝2＋ρcos θ.将互化公式代入，
得x2＋y2＝(2＋x)2.
整理可得y2＝4(x＋1)．
9．从极点O引定圆ρ＝2cos θ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形．
解：设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，
则θ＝θ0，＝，
∴ρ0＝ρ.
∵ρ0＝2cos θ0，
∴ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，
它表示一个圆．
10．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.
所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)由解得
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．
则过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.