课时跟踪检测(十) 椭圆的参数方程
一、选择题
1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( )
A．π B. C．2π D.
解析：选A ∵点(－a,0)中x＝－a，
∴－a＝acos θ，
∴cos θ＝－1，∴θ＝π.
2．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
解析：选C 点M的坐标为(1,2)，
∴kOM＝2.
3．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选B 设椭圆上一点P1的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈，如图所示，则S四边形P1AOB＝S△OAP1＋S△OBP1
＝×4×3sin θ＋×3×4cos θ
＝6(sin θ＋cos θ)＝6sin.
当θ＝时，S四边形P1AOB有最大值为6.
所以S△ABP1≤6－S△AOB＝6－6＜4.
故在直线AB的右上方不存在点P使得△PAB的面积等于4，又S△AOB＝6＞4，所以在直线AB的左下方，存在两个点满足到直线AB的距离为，使得S△PAB＝4.
故椭圆上有两个点使得△PAB的面积等于4.
4．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0 B．1 C．0或1 D．2
解析：选B
由得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
二、填空题
5．椭圆(θ为参数)的焦距为________．
解析：椭圆的普通方程为＋＝1.
∴c2＝21，∴2c＝2.
答案：2
6．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
所以设x＝2cos α，y＝sin α，则
2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.
答案：5
7．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a＞b＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆 O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆 O相切，则椭圆C的离心率为____________．
解析：l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线l与圆O相切，
得m＝±b.
从而椭圆的一个焦点为(b,0)，即c＝b，
所以a＝b，则离心率e＝＝.
答案：
三、解答题
8．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将(0≤θ＜π)化为普通方程，得
＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，
将x＝t2，y＝t代入，得
t4＋t2－1＝0，
解得t2＝，
∴t＝(∵y＝t≥0)，x＝t2＝·＝1，
∴交点坐标为.
9．对于椭圆(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的，再把纵坐标缩短为原来的即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．
解：设圆的参数方程为(θ为参数)，
如果将该圆看成椭圆，
那么在椭圆中对应的数值分别为a＝b＝r，
所以c＝＝0，
则离心率e＝＝0.
即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．
10．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，
得P(0,4)．
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程
x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，
故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝
＝＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.