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课时提升作业 十
一般形式的柯西不等式
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,
ax+by+cz=20,则= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由已知得
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,
结合柯西不等式,知===,所以=.
2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是
( )
A.9 B.10 C.14 D.15
【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+()2+()2]·[(3x)2+(2y)2+(z)2]
=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立.
故u=3x+6y+5z的最大值为9.
3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是 ( )
A.x≥1或x≤-3 B.-3≤x≤1
C.x≥-1或x≤3 D.-1≤x≤3
【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.
【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+c)2,
所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤|x+1|,
所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______.
【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1)
≥(2x+2y+z-1)2=81,
所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9.
答案:9
5.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是________.
【解析】(a+b+c)=
[()2+()2+()2]≥
=(2+3+6)2=121.
当且仅当==时等号成立.
答案:121
三、解答题
6.(10分)(2016·深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=+的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r2≥3.
【证明】因为f(x)=+≥=3,
即函数f(x)=+的最小值a=3.
所以p+q+r=3.
由柯西不等式得
(p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9,
于是p2+q2+r2≥3.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是 ( )
A. B. C.6 D.3
【解析】选B.由柯西不等式,得
(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]
≥[x+y+(1-x-y)]2=1.
即x2+y2+(1-x-y)2≥.
当且仅当x=y=1-x-y.
即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.
【补偿训练】(2015·珠海高二检测)已知++…+=1,++…+=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.因为(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(++…+)×(++…+)=1×1.当且仅当==…=时,等号成立.
所以a1x1+a2x2+…+anxn的最大值为1.
2.(2016·长沙高二检测)已知α为锐角,则的最小值为
( )
A.3-2 B.3+2
C-1 D.+1
【解析】选B.
≥,
当且仅当sinα=cosα时等号成立,
此时==3+2.
即的最小值为3+2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.方程2+=的解为________.
【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解.
【解析】由柯西不等式,得(2+)2
=
≤[22+()2]
=6×=15,
即2+≤.
当且仅当=,
即x=-时,等号成立.
故原方程的根是x=-.
答案:x=-
4.(2016·西安高二检测)边长为a,b,c的三角形ABC,其面积为,外接圆半径为1,若s=++,t=++,则s与t的大小关系是________.
【解析】由已知得absinC=,=2R=2.
所以abc=1,所以++=ab+bc+ca,
由柯西不等式得(ab+bc+ca)≥(++)2,
所以≥(++)2.
即++≥++.
当且仅当a=b=c=1时等号成立.
答案:s≤t
三、解答题
5.(10分)(2016·石家庄高二检测)设a1>a2>…>an>an+1,求证:++…++>0.
【证明】为了运用柯西不等式,我们将a1-an+1写成
a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1),
于是[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)]·≥n2>1.
即(a1-an+1)·(++…+)>1,
所以++…+>,故++…++>0.
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