高中数学选修4-5学业分层测评7 Word版含答案

学业分层测评（七）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)
A.＜ B．a2＞b2
C.＞ D.a|c|＞b|c|
【解析】　∵a＞b，c2＋1＞0，
∴＞，故选C.
【答案】　C
2．设＜＜＜1，则(　　)
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa
【解析】　∵＜＜＜1，
∴0＜a＜b＜1，∴＝aa－b＞1，∴ab＜aa，
＝.∵0＜＜1，a＞0，
∴＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.
【答案】　C
3．已知条件p：ab>0，q：＋≥2，则p与q的关系是(　　)
【导学号：32750037】
A．p是q的充分而不必要条件
B．p是q的必要而不充分条件
C．p是q的充要条件
D．以上答案都不对
【解析】　当ab>0时，>0，>0，
∴＋≥2 ＝2.
当＋≥2时，
∴≥0，≥0，
(a－b)2≥0，∴ab>0，
综上，ab>0是＋≥2的充要条件．
【答案】　C
4．已知a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是(　　)
A.＋≥2 B.＋≥a＋b
C.＋≤ D.＋≥
【解析】　A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．
【答案】　C
5．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则(　　)
A．S≥2P B．P＜S＜2P
C．S＞P D.P≤S＜2P
【解析】　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
即S≥P.
又三角形中|a－b|＜c，∴a2＋b2－2ab＜c2，
同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2，
∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P.
【答案】　D
二、填空题
6．有以下四个不等式：
①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2；②ab－b2＜a2；③＞0；④a2＋b2≥2|ab|.
其中恒成立的为________(写出序号即可)．
【解析】　对于①，x2＋4x＋3＞x2＋4x＋4,3＞4不成立；对于②，当a＝b＝0时， 0＜0不成立；③④显然成立．
【答案】　③④
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则的取值范围是________．
【解析】　∵a2＋b2＝c2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，∴≤，当且仅当a＝b时，取等号．又∵a＋b>c，∴>1.
【答案】　(1，]
8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．
【解析】　∵P＝，Q＝，＝＋，
∴R＝≤Q＝≤P＝，
当且仅当a＝b时取等号．
【答案】　P≥Q≥R
三、解答题
9．设a＞0，b＞0，c＞0.证明：
(1)＋≥；
(2)＋＋≥＋＋.
【证明】　(1)∵a＞0，b＞0，
∴(a＋b)
≥2·2＝4，
∴＋≥.
(2)由(1)知＋≥，
同时＋≥，＋≥，三式相加得：
2≥＋＋，
∴＋＋≥＋＋.
10．已知a≥1，求证：－＜－.
【证明】　要证原不等式成立，
只要证明＋＜2.
因为a≥1，＋＞0,2＞0，
所以只要证明2a＋2＜4a，
即证 ＜a.
所以只要证明a2－1＜a2，
即证－1＜0即可．
而－1＜0显然成立，
所以－＜－.
[能力提升]
1．若xy＋yz＋zx＝1，则x2＋y2＋z2与1的关系是(　　)
【导学号：32750038】
A．x2＋y2＋z2≥1 B．x2＋y2＋z2≤1
C．x2＋y2＋z2＝1 D.不确定
【解析】　x2＋y2＋z2＝(x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2)≥(2xy＋2yz＋2zx)＝1，当且仅当x＝y＝z＝时，取等号．
【答案】　A
2．设a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则M的取值范围是________．
【解析】　∵a＋b＋c＝1，
∴M＝··
＝··
＝··
≥2·2·2＝8，
即M的取值范围是[8，＋∞)．
【答案】　[8，＋∞)
3．已知|a|＜1，|b|＜1，求证：＜1.
【证明】　要证＜1，只需证|a＋b|＜|1＋ab|，
只需证a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2，
即证(1－a2)－b2(1－a2)＞0，
也就是(1－a2)(1－b2)＞0，
∵|a|＜1，|b|＜1，∴最后一个不等式显然成立．
因此原不等式成立．
4．若不等式＋＋＞0在条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．
【解】　不等式可化为＋＞.
∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，
b－c＞0，a－c＞0，
∴λ＜＋恒成立．
∵＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴λ≤4.
故实数λ的取值范围是(－∞，4]．