第二讲 参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
第2课时 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析：逐一验证知D不满足y2＝4x.
答案：D
2．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支 B．双曲线右支
C．双曲线上支 D．双曲线下支
解析：因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4，
且x＝et＋e－t≥2＝2，
所以表示双曲线的右支．
答案：B
3．若曲线(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是( )
A．t1＋t2 B．t1－t2_科_网Z_X_X_K]
C. D.
解析：依题意M1(2pt1，2pt)，M2(2pt2，2pt)，
所以k＝＝＝t1＋t2.
答案：A
4．点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．1 C. D．2
解析：设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.
由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.
答案：B
5．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F1(－5，0)，F2(5，0)，
设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec θ，y＝＝tan θ，[
从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．
答案：A
二、填空题
6．双曲线的顶点坐标为________．
解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x轴，且a＝，故顶点坐标为(±，0)．
答案：(±，0)
7．如果双曲线(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.
答案：10或6
8．过抛物线(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
解析：化为普通方程是：x＝，即y2＝4x，所以p＝2.
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
答案：8
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为
所以消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①[
同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，.
10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，
可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则
所以kAP＝.
由kMN＝kAP知t1·t2＝－，
又
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
B级 能力提升
1．已知抛物线C1：(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝( )
A．1 B. C. D．2
解析：抛物线C1的普通方程为y2＝8x，焦点为(2，0)，故直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，由题意＝r，得r＝.
答案：C
2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．
答案：(2，－4)
3.如图所示，设M为双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点，过点M作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，试求平行四边形MAOB的面积．
解：双曲线的渐近线方程为y＝±x.
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为(asec φ，btan φ)，则直线MA的方程为y－btan φ＝－(x－asec φ)，
将y＝x代入解得点A的横坐标为xA＝(sec φ－tan φ)，
同理可得点B的横坐标为xB＝(sec φ－tan φ)．
设∠AOx＝α，则tan α＝，
所以平行四边形MAOB的面积为S▱MAOB＝|OA|·|OB|·sin 2α－··sin 2α＝·sin 2α＝·tan α＝·＝.