课时跟踪检测(七) 参数方程的概念
一、选择题
1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(θ为参数) D.(t为参数)
解析：选D x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
2．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ<2π)，若点Μ(14，a)在曲线C上，则a等于( )
A．－3－5 B．－3＋5
C．－3＋ D．－3－
解析：选A ∵(14，a)在曲线C上，
∴
由①，得cos θ＝.又π≤θ＜2π，
∴sin θ＝－＝－，
∴tan θ＝－.
∴a＝5·(－)－3＝－3－5.
3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A．(2，－7) B. C. D．(1,0)
解析：选C 将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
∴
二、填空题
5．已知曲线(θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点：A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．
解析：将点A坐标代入方程，得θ＝0或π，
将点B，C坐标代入方程，方程无解，
故点A在曲线上．
答案：A(1,3)
6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的是________(填序号)．
①②③
④
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确．
答案：④
7．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为________________________．
解析：设M(x，y)，
则在x轴上的位移为x＝1＋9t，
在y轴上的位移为y＝1＋12t.
∴参数方程为(t为参数)．
答案：(t为参数)
三、解答题
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b∈R＋，且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0，得
(x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ.
∴(θ为参数)．
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ，
y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.
所以P点轨迹的参数方程为
θ∈.
10．试确定过M(0,1)作椭圆x2＋＝1的弦的中点的轨迹方程．
解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，
其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)．
设中点P(x，y)，则有：x＝，y＝.
由
得(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0.
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝.
∴(k为参数)．
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．