一、二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.点A(-2,b)不在平面区域2x-3y+5≥0内,则b的取值范围是( )
A.b> B.b>-9
C.b<1 D.b≤
答案:A
解析:由已知,2×(-2)-3b+5<0,
∴3b>1,∴b>.
2.表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:取点(0,0)检验即可,或直接依据图象写出不等式组.
3.不等式组表示的平面区域是( )
A.矩形 B.三角形
C.直角梯形 D.等腰梯形
答案:D
解析:作出平面区域如图,所以平面区域为等腰梯形.
4.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,则b的取值范围是 .
答案:
解析:点P(1,-2)关于原点的对称点为点P'(-1,2).
由题意知
解得
解:由x≤2x,得x≥0,当y>0时,有点(x,y)在一角形区域内(含边界);
当y≤0时,由对称性得出,点(x,y)也在一角形区域内(含边界),
综上,x≤|y|≤2x表示的平面区域如图阴影部分.
二、不等式组表示的平面区域的面积
6.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分△ABC所示.
由得A(1,1),
又B(0,4),C,
∴S△ABC=×1=.
设y=kx+与3x+y=4的交点为D,则由S△BCD=S△ABC=知xD=,
∴yD=.∴=k×,解得k=.
7.不等式组表示的平面区域的面积是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案:B
解析:不等式组等价于(1)或(2)
分别作出以上两个不等式组表示的区域,可以发现不等式组(1)表示一个点A,不等式组(2)表示的平面区域如图阴影部分所示,
从而它们的并集为不等式组(2)表示的区域,其中点A(0,1),B(-2,3),C(-2,-1),
于是其面积为S=×2×|3-(-1)|=4.
8.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是 .
答案:4
解析:不等式组表示的平面区域是三角形,如图所示,则该三角形的面积是×4×2=4.
三、用二元一次不等式组表示实际问题
9.某公司从银行贷款不足250万元,分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造.已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润,乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润,如果该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元,请列出甲、乙两个工厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解:设甲、乙两个工厂分配到的贷款金额分别为x,y(单位:万元),
根据题意,可得
不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
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1.下面四个点中,在平面区域内的点是( )
A.(0,0) B.(0,2) C.(-3,2) D.(-2,0)
答案:B
解析:可以验证仅有点(0,2)的坐标是不等式组的解,则点(0,2)在该不等式组表示的平面区域内.
2.已知点(a,2a-1),既在直线y=3x-6的上方,又在y轴的右侧,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(5,+∞)
C.(0,2) D.(0,5)
答案:D
解析:∵(a,2a-1)在直线y=3x-6的上方,
∴3a-6-(2a-1)<0.即a<5.
又(a,2a-1)在y轴右侧,∴a>0.
∴0
A. B.
C. D.
答案:A
解析:由已知三条直线围成的三角形区域如图中阴影部分所示,从而代入点检验知A正确.
4.能正确表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)≥0的点所在的区域的是( )
答案:A
解析:∵点(0,0)在(x-y)(x+2y-2)≥0表示的平面区域内,∴可排除C,D.
又∵点(-5,0)也在(x-y)(x+2y-2)≥0表示的平面区域内,∴排除B.
5.直线y=kx+1将不等式组表示的平面区域分为面积相等的两部分,则实数k的值为( )
A.1 B.-1
C.0 D.-2
答案:C
解析:不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,△ABC是等腰直角三角形,且BC⊥x轴,点A(-1,1).直线y=kx+1经过点(0,1),要使直线将△ABC等分,则k=0.
6.如果点(5,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为 .
答案:4
解析:由已知得解得
7.不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则n= .
答案:4
解析:由已知图形为直角三角形,∴k=1.
从而区域如图所示,
则点A(1,1),C(1,n-1),B,∴S△ABC=(n-2)×=1,∴n=4或n=0(舍去).
8.已知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为 .
答案:
解析:作出区域D及圆x2+y2=4,如图所示,图中阴影部分所在圆心角θ=α+β所对弧长即为所求,易知图中两直线的斜率分别为,-,即tanα=,tanβ=,tanθ=tan(α+β)==1,故θ=,从而弧长l=θ·R=×2=.
9.△ABC中,顶点A(3,-1),B(-1,1),C(1,3).写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.
解:如图:
AB,BC,CA三边所在直线的方程分别为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0,由区域可得不等式组为
10.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于P,Q两点,且P,Q关于直线x+y=0对称,则不等式组表示的平面区域的面积是多少?
解:P,Q关于直线x+y=0对称,故PQ与直线x+y=0垂直,直线PQ即是直线y=kx+1,故k=1.
又线段PQ为圆x2+y2+kx+my-4=0的一条弦,故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上,
即在直线x+y=0上,
又圆心在上,
∴m=-k=-1,∴不等式组为
它表示的平面区域如图所示,故面积为.