一、选择题
1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若A＋C＝2B，有a＝1，b＝，则S△ABC等于( )
A.B.C.D．2
答案 C
解析 由A＋C＝2B，解得B＝.由余弦定理得()2＝1＋c2－2ccos，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是，S△ABC＝acsinB＝×1×2sin＝.
2．在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A.B．(10，＋∞) C．(0,10) D.
答案 D
解析 ∵＝＝，∴c＝sinC．∴0
A.B.C.D.
答案 B
解析 由正弦定理得＝，∴a＝b可化为＝.
又A＝2B，∴＝，∴cosB＝.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C＝120°，c＝a，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
答案 A
解析 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，
又C＝120°，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b，故选A.
5．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0) C．(－，0) D．(，＋∞)
答案 D
解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，
∵即，∴k>.
6．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )
A.B.C.D．9
答案 C
解析 设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，
∴x2＝9，∴x＝3.设cosθ＝，则sinθ＝.
∴2R＝＝＝，R＝.
7．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案 B
解析 ∵sinA＝sinC且A、C是三角形内角，
∴A＝C或A＋C＝π(舍去)．
∴△ABC是等腰三角形．
8．在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则AC的取值范围是( )
A．[－2,2]B．[0,2]C．(0,2] D．(，)
答案 D
解析 由题意得⇒＜∠A＜，
由正弦定理＝得AC＝2cosA.
∵∠A∈，∴AC∈(，)．
9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
答案 D
解析 A中，因＝，
所以sinB＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；
B中，sinC＝＝，且c>b，
∴C>B，故有两解；
C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，即有解；
故A、B、C都不正确．用排除法应选D.
10．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 设BC＝a，则BM＝MC＝.
在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB，
即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB①
在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC
即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝.
二、填空题
11．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的大小是________．
答案
解析 由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－ab.
根据余弦定理，得cosC＝
＝＝，所以cosC＝.
12．在△ABC中，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.
答案
解析 由已知3sinA＝5sinB，利用正弦定理可得3a＝5b.
由3a＝5b，b＋c＝2a，利用余弦定理得cosC＝＝－.C∈(0，π)，C＝π.
13．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.
答案
解析 在△ABC中，∵cosA＝>0，∴sinA＝.
∵cosB＝>0，∴sinB＝.
∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.
由正弦定理知＝，∴c＝＝＝.
14．太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
答案
解析 如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，
AB＝1 (km)．
由正弦定理得
＝，
∴BC＝·sin15°＝ (km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin75°＝·＝ (km)．
三、解答题
15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝.
(1)若b＝4，求sinA的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解 (1)∵cosB＝>0，且0
由正弦定理得＝，sinA＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsinB＝4，∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
16.如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
解 设我艇追上走私船所需时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知
(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos120°，
∴t＝2(t＝－舍去)．
答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时．
17．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cosA的值；
(2)求c的值．
解 (1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cosA＝.
(2)由(1)知cosA＝，所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.所以sinB＝＝.
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.
18．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
(1)证明 ∵m∥n，∴asinA＝bsinB，
即a·＝b·，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S△ABC＝absinC＝×4×sin＝.