一、等差数列通项公式的应用
1.等差数列{an}中,a2=-5,d=3,则a5为( )
A.-4 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:a5=a1+4d=(a1+d)+3d=a2+3d=-5+3×3=4.
2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
答案:D
解析:∵2an+1=2an+1,∴an+1=an+.
∴an+1-an=.
∴数列{an}是首项为2,公差为的等差数列.
∴a101=a1+(101-1)d=2+=52.
3.(2015福建厦门高二期末,2)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+3(n≥2),则a100等于( )
A.297 B.298 C.299 D.300
答案:B
解析:由an=an-1+3(n≥2),得an-an-1=3(n≥2),
即数列{an}是以3为公差的等差数列.
又a1=1,∴a100=1+(100-1)×3=298.
4.若等差数列{an}的公差为整数,首项为19,从第6项开始为负值,则公差为( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
答案:B
解析:设等差数列{an}的公差为d(d∈Z),
依题意得a6=a1+5d=19+5d<0,
即d<-,a5=a1+4d=19+4d≥0,
即d≥-,所以-≤d<-,
又d∈Z,所以d=-4.
5.等差数列{an}中,a2=5,a4=a6+6,则a1= .
答案:8
解析:由a4=a6+6,得2d=a6-a4=-6,∴d=-3.
又∵a1=a2-d=5-(-3)=8,∴a1=8.
二、等差中项的应用
6.(2015福建宁德五校联考,1)已知实数m是1和5的等差中项,则m等于( )
A. B.± C.3 D.±3
答案:C
解析:因为实数m是1和5的等差中项,
所以2m=1+5=6,则m=3.故选C.
7.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案:B
解析:依题意可得m+2n=8,2m+n=10,故3m+3n=18⇒m+n=6,故m和n的等差中项是3.
8.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值为( )
A.1 B.0或32 C.32 D.log25
答案:D
解析:由题意得lg2+lg(2x+3)=2lg(2x-1),
所以2(2x+3)=(2x-1)2,
解得2x=5或2x=-1(舍去),所以x=log25.
三、等差数列的判断与证明
9.(2015山东威海高二期中,21)数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*).令bn=a2n,求证{bn}是等差数列,并求{bn}的通项公式.
解:当n≥2时,bn-bn-1=a2n-a2n-2=2,
∴{bn}是等差数列,且b1=a2=2,
∴bn=2n.
10.已知成等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.
证明:∵是等差数列,
∴.
∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c).
∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c).
∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2.
∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2成等差数列.
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1.数列{an}的通项公式an=4n-7,则此数列是( )
A.公差为4的等差数列
B.公差为-7的等差数列
C.首项为-7的等差数列
D.公差为n的等差数列
答案:A
解析:an+1-an=4(n+1)-4n=4.故选A.
2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( )
A.45 B.46 C.47 D.92
答案:B
解析:由题可知,等差数列的首项a1=1,公差d=-2,且an=-89.
由an=a1+(n-1)d,解得n=46.故选B.
3.{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=( )
A.-2 B.- C. D.2
答案:B
解析:
4.等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分别是( )
A.2,7 B.1,6
C.0,5 D.无法确定
答案:A
解析:由等差中项知识得解得
5.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围为( )
A.d> B.d<3
C.≤d<3 D.
解析:设公差为d,an=-24+(n-1)d,
∴
∴
解析:由题意得
又a1
从而an=-2+2(n-1),即an=2n-4.
7.已知a,b,c成等差数列,那么二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的公共点的个数是 .
答案:1或2
解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
二次函数y=ax2+2bx+c的判别式Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,
∴图象与x轴有一个或两个公共点.
8.若x≠y,且x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自都成等差数列,则= .
答案:
解析:由题知a2-a1=d1=,b2-b1=d2=,
∴.
9.某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
解:由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司会出现亏损.
设从第1年起,第n年的利润为an,则a1=200,an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),
所以每年的利润an可构成一个等差数列{an},且公差d=-20,
从而an=a1+(n-1)d=220-20n.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,
所以由an=220-20n<0,得n>11,
即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.
10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.
(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n≥2)的关系式;
(2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.
解:(1)由等方差数列的定义可知:=p(n≥2).
(2)∵{an}是等差数列,设公差为d,
则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).
又{an}是等方差数列,
∴(n≥2),
∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an),
即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0.
∴d=0,即{an}是常数列.