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  • 高中数学选修4-1章末综合测评2 Word版含解析

    2020-11-16 高三上册数学人教版

    章末综合测评(二)
    (时间120分钟,满分150分)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.在⊙O中,∠AOB=84°,则弦AB所对的圆周角是(  )
    【导学号:07370050】
    A.42°    B.138°
    C.84° D.42°或138°
    【解析】 弦AB所对的弧的度数为84°或276°,故其所对的圆周角为42°或138°.
    【答案】 D
    2.如图1,一圆内切四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为(  )
    图1
    A.50 B.52
    C.54 D.56
    【解析】 由切线长定理知CD+AB=AD+BC.
    ∵AB+CD=26,∴AB+BC+CD+AD=52.
    【答案】 B
    3.如图2,⊙O经过⊙O1的圆心,∠ADB=α,∠ACB=β,则α与β之间的关系是(  )
    图2
    A.β=α
    B.β=180°-2α
    C.β=(90°-α)
    D.β=(180°-α)
    【解析】 如图所示,分别连接AO1,BO1.
    根据圆内接四边形的性质定理,可得
    ∠AO1B+∠ADB=180°,
    ∴∠AO1B=180°-∠ADB=180°-α.
    ∵∠ACB=∠AO1B,
    ∴β=(180°-α),故选D.
    【答案】 D
    4.如图3所示,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是⊙O的直径,则∠AEB等于
    (  )
    图3
    A.70° B.110°
    C.90° D.120°
    【解析】 由题意知,∠D=∠A=50°,
    ∠BCD=90°,
    ∴∠CBD=90°-50°=40°,
    又∠ACB=180°-50°-60°=70°,
    ∴∠AEB=∠CBD+∠ACB=40°+70°=110°.
    【答案】 B
    5.如图4,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于点C,BE∥MN交AC于点E,若AB=6,BC=4,则AE=(  )
    图4
    A. B.
    C.1 D.
    【解析】 ∵MN为⊙O的切线,∴∠BCM=∠A.
    ∵MN∥BE,∴∠BCM=∠EBC,
    ∴∠A=∠EBC.
    又∠ACB=∠BCE,
    ∴△ABC∽△BEC,∴=.
    ∵AB=AC,∴BE=BC,∴=.
    ∴EC=,∴AE=6-=.
    【答案】 A
    6.如图5,已知⊙O是△ABC的外接圆,⊙I是△ABC的内切圆,∠A=80°,则∠BIC等于(  )
    图5
    A.80°   B.100°
    C.120° D.130°
    【解析】 ∵∠A=80°,
    ∴∠ABC+∠ACB=100°.
    ∵∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,
    ∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=50°,
    ∴∠BIC=180°-50°=130°.
    【答案】 D
    7.如图6,已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°,过C点的切线PC与AB的延长线交于P,PC=5,则⊙O的半径为(  )
    图6
    A. B.
    C.10 D.5
    【解析】 连接OC,则有∠COP=60°,OC⊥PC,
    ∴PO=2CO,
    ∴CO=5,即CO=.
    【答案】 A
    8.(2016·焦作模拟)如图7,已知AB是⊙O的直径,CD⊥AB于P,EF是过点P的弦,已知AB=10,PA=2,PE=5,则CD和EF分别为(  )
    图7
    A.8和7    B.7和
    C.7和8 D.8和
    【解析】 ∵PA·PB=PC2,
    ∴PC2=16,PC=4,∴CD=8.
    ∵PE·PF=PC2,∴PF=,
    ∴EF=+5=.
    【答案】 D
    9.如图8,已知AT切⊙O于T.若AT=6,AE=3,AD=4,DE=2,则BC=(  )
    图8
    A.3 B.4
    C.6 D.8
    【解析】 ∵AT为⊙O的切线,
    ∴AT2=AD·AC.
    ∵AT=6,AD=4,∴AC=9.
    ∵∠ADE=∠B,∠EAD=∠CAB,
    ∴△EAD∽△CAB,
    即=,∴BC===6.
    【答案】 C
    10.如图9,圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点,DP⊥AC,垂足是P,DH⊥BH,垂足是H,下列结论:①CH=CP;②=;③AP=BH;④DH为圆的切线.其中一定成立的是(  )
    图9
    A.①②④ B.①③④
    C.②③④ D.①②③
    【解析】 显然①可由△PCD≌△HCD得到;因为四边形ABCD为圆的内接四边形,所以∠BAD=∠HCD=∠ACD,即=,故②成立;而③,连接BD,则AD=BD,∠DAP=∠DBH,所以Rt△APD≌Rt△BHD,得AP=BH,③成立;对于④,不能判定DH是圆的切线,故应选D.
    【答案】 D
    11.如图10,在⊙O中,MN为直径,点A在⊙O上,且∠AON=60°,点B是的中点,点P是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为(  )
    图10
    A.1 B.
    C.-1 D.
    【解析】 如图,过点B作BB′⊥MN,交⊙O于点B′,连接AB′交MN于点P′,即点P在点P′处时,AP+BP最小.
    易知B与B′点关于MN对称,
    依题意∠AON=60°,
    则∠B′ON=∠BON=30°,
    所以∠AOB′=90°,
    AB′==.
    故PA+PB的最小值为,故选D.
    【答案】 D
    12.如图11所示,PT与⊙O切于T,CT是⊙O的直径,PBA是割线,与⊙O的交点是A,B,与直线CT的交点D,已知CD=2,AD=3,BD=4,那么PB=(  )
    图11
    A.10 B.20
    C.5 D.8
    【解析】 根据相交弦定理,可得
    AD·DB=CD·DT,∴3×4=2DT,解得DT=6,
    ∴圆的半径r=4,AB=7,不妨设PB=x,则PA=x+7,根据切割线定理,可得PT2=PB·PA,∴PT2=x·(x+7),在Rt△PTD中,DT2+PT2=PD2,∴36+PT2=(x+4)2,∴36+x(x+7)=(x+4)2,解得x=20.
    【答案】 B
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上)
    13.如图12所示,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.
    图12
    【解析】 由题意知,AB=6,AE=1,∴BE=5.
    ∴CE·DE=DE2=AE·BE=5.
    在Rt△DEB中,∵EF⊥DB,由射影定理得DF·DB=DE2=5.
    【答案】 5
    14.如图13,在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为________.
    图13
    【解析】 由相交弦定理得PA·PB=PC·PD.
    又PA=PB=2,PD=1,则PC=4,
    ∴CD=PC+PD=5.
    过O作CD的垂线OE交CD于E,则E为CD中点,
    ∴OE===.
    【答案】 
    15.如图14,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为________.
    【导学号:07370051】
    图14
    【解析】 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为AE与圆相切,所以∠EAB=∠C.所以∠ABC=∠EAB,所以AE∥BC.又因为AC∥DE,所以四边形AEBC是平行四边形.由切割线定理可得AE2=EB·ED,于是62=EB·(EB+5),所以EB=4(负值舍去),因此AC=4,BC=6.又因为△AFC∽△DFB,所以=,解得CF=.
    【答案】 
    16.(2016·北京朝阳区检测)如图15,PC切圆O于点C,割线PAB经过圆心O,PC=4,PB=8,则tan∠COP=________,△OBC的面积是________.
    图15
    【解析】 因为PC切圆O于点C,根据切割线定理即可得出PC2=PA·PB,所以42=8PA,解得PA=2.设圆的半径为R,则2+2R=8,解得R=3.在直角△OCP中,tan∠COP=,sin∠COP=.所以sin∠BOC=sin∠COP=.所以△OBC的面积是×R2sin∠BOC=×32×=.
    【答案】  
    三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(本小题满分10分)如图16,AB是⊙O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.
    求证:(1)BE·DE+AC·CE=CE2;
    (2)E,F,C,B四点共圆.
    图16
    【证明】 (1)连接CD,由圆周角性质可知∠ECD=∠EBA.
    故△ABE∽△CDE,∴BE∶CE=AE∶DE,
    ∴BE·DE+AC·CE=CE2.
    (2)∵AB是⊙O的直径,所以∠ECB=90°,∴CD=BE.∵EF⊥BF,∴FD=BE,∴E,F,C,B四点与点D等距,∴E,F,C,B四点共圆.
    18.(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.
    图17
    (1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
    (2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明:OG⊥CD.
    【解】 (1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.
    因为=,所以∠PBA=∠PCB.又∠BPD=∠BCD,
    所以∠BFD=∠PCD.
    又∠PFB+∠BFD=180°,
    ∠PFB=2∠PCD,
    所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.
    (2)证明:因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.
    19.(本小题满分12分)如图18,已知PE切⊙O于点E,割线PBA交⊙O于A,B两点,∠APE的平分线和AE,BE分别交于点C,D.求证:
    图18
    (1)CE=DE;
    (2)=.
    【证明】 (1)∵PE切⊙O于点E,∴∠A=∠BEP.
    ∵PC平分∠APE,∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE.
    ∵∠ECD=∠A+∠CPA,∠EDC=∠BEP+∠DPE,
    ∴∠ECD=∠EDC,∴CE=DE.
    (2)∵∠PDB=∠EDC,∠EDC=∠ECD,∠PDB=∠PCE,
    ∴∠BPD=∠EPC,∴△PBD∽△PEC,∴=.
    同理△PDE∽△PCA,∴=.
    ∴=.∵DE=CE,∴=.
    20.(本小题满分12分)如图19,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:
    图19
    (1)CD=BC;
    (2)△BCD∽△GBD.
    【证明】 (1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连接AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.
    因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.
    (2)因为FG∥BC,故GB=CF.
    由(1)可知BD=CF,所以GB=BD,所以∠BGD=∠BDG.
    由BC=CD知∠CBD=∠CD B.
    又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC,所以△BCD∽△GBD.
    21.(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°,以O为圆心,OA为半径作圆.
    图20
    (1)证明:直线AB与⊙O相切;
    (2)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.
    【证明】 (1)设E是AB的中点,连接OE.
    因为OA=OB,∠AOB=120°,
    所以OE⊥AB,∠AOE=60°.
    在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于⊙O的半径,所以直线AB与⊙O相切.
    (2)因为OA=2OD,
    所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.
    设O′是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO′.
    由已知得O在线段AB的垂直平分线上,
    又O′在线段AB的垂直平分线上,所以OO′⊥A B.
    同理可证,OO′⊥CD,所以AB∥CD.
    22.(本小题满分12分)如图21,已知CP为⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB切⊙O于点D,并与CP的延长线相交于点B,又BD=2BP.
    图21
    求证:(1)PC=3BP;
    (2)AC=PC.
    【证明】 (1)∵BD是⊙O的切线,
    BPC是⊙O的割线,
    ∴BD2=BP·BC.
    ∵BD=2BP,
    ∴4BP2=BP·BC,
    ∴4BP=BC.
    ∵BC=BP+PC.
    ∴4BP=BP+PC,
    ∴PC=3BP.
    (2)连接DO.
    ∵AB切⊙O于点D,AC切⊙O于点C,
    ∴∠ODB=∠ACB=90°.
    ∵∠B=∠B,∴△ODB∽△ACB,
    ∴===,
    ∴AC=2DO,又PC=2DO,∴AC=PC.
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