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[学业达标]
一、选择题
1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为( )
A．1 B．2
C. D.4
【解析】 ∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，
∴ax＋by≤.
【答案】 C
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3
【解析】 ∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.
【答案】 C
3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是( )
【导学号：32750050】
A．P≤Q B．P
【解析】 设m＝(x，y)，n＝(，)，
则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|
＝·
＝·＝，
∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.
【答案】 A
4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－2，2]
C．[－，] D.(－，)
【解析】 (a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.
∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.
∴－2≤a－b≤2.
【答案】 A
5．若a＋b＝1且a，b同号，则2＋2的最小值为( )
A．1 B．2
C. D.
【解析】 ＋
＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)＋4.
∵a＋b＝1，ab≤＝，
∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)
≥·(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17，
∴＋≥＋4＝.
【答案】 C
二、填空题
6．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．
【解析】 由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，
于是2x＋y≤.
【答案】
7．设xy＞0，则·的最小值为________．
【解析】 原式＝≥＝9(当且仅当xy＝时取等号)．
【答案】 9
8．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________．
【解析】 (x＋2y)
＝[()2＋()2][＋]≥＝25，当且仅当·＝·，即x＝，y＝时，“＝”成立．又x＋2y＝8，
∴＋≥.
【答案】
三、解答题
9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋.
【证明】 设m＝，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝
＝|m·n|≤|m||n|＝ ·
＝ ，
∴(a＋b)2≤＋.
10．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.
【证明】 因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，
所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，
当且仅当b＝2a时，等号成立，即5(1－c2)≥(1－c)2，
整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.
[能力提升]
1．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B. C．3 D．5
【解析】 根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.
【答案】 B
2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是( )
A. B．1 C．3 D．9
【解析】 ∵2x＋y＝2x·1＋y·1
≤·＝·＝.
∴2x＋y的最大值为.
【答案】 A
3．函数f(x)＝＋的最大值为______．
【导学号：32750051】
【解析】 设函数有意义时x满足≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝
≤(1＋2)＝，
∴f(x)≤，
当且仅当2－x2＝，即x2＝时取等号．
【答案】
4．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长．
【解】 如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×)．
由柯西不等式
l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R
＝4R，
当且仅当＝，即x＝R时，等号成立．
此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，
故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为4R.