第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.2 基本不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D．a2＋b2＞2ab
解析：当a，b都是负数时，A不成立；
当a，b一正一负时，B不成立；
当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．
答案：C
2．下列各式中，最小值等于2的是( )
A.＋ B.
C．tan θ＋ D．2x＋2－x
解析：因为2x＞0，2－x＞0，
所以2x＋2－x≥2＝2.
当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．
答案：D
3．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是( )
A．10 B．6
C．4 D．18
解析：3x＋3y≥2＝2＝2＝18，
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
答案：D
4．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
解析：x，y为正数，(x＋y)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，选B.
答案：B
5．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.
又a，b均大于0，
所以a＋b＝(a＋b) ＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．
答案：C
二、填空题
6．设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．
解析：y＝3－≤3－2，
当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．
所以ymax＝3－2.
答案：3－2
7．已知函数f(x)＝2x，点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，那么f(a)·f(b)的最小值是________．
解析：点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，所以有ab＝1.
因为a＞0，b＞0，所以f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22＝4，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
答案：4
8．当x＞0时，f(x)＝的值域是________．
解析：因为x＞0，所以x＋≥2，所以0＜≤.
所以0＜≤1.
又因为f(x)＝＝，
所以0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．故f(x)的值域是(0，1]．
答案：(0，1]
三、解答题
9．已知x＜0，求2x＋的最大值．
解：由x＜0，得－x＞0，
得－2x＋≥2＝2，
所以2x＋≤－2，
当且仅当－2x＝，
即x＝－时等号成立．
故2x＋取得最大值－2.
10．若a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：8abc≤(1－a)·(1－b)(1－c)．
证明：因为a＋b＋c＝1，
所以1－a＝b＋c＞0，1－b＝a＋c＞0，1－c＝a＋b＞0.
所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(a＋b)(b＋c)(a＋c)．
因为a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，a＋c≥2＞0，
三式相乘，得(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2·2·2＝8abc，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以8abc≤(1－a)(1－b)(1－c)．
B级 能力提升
1．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，
则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，
所以≥2或≤－4(舍去)．
所以正实数a的最小值为4.
答案：B
2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
解析：因为x⊗y＝，
所以x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝＝.
其中x＞0，y＞0，当且仅当x2＝2y2，即x＝y时等号成立．
答案：
3．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；
(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
解：(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.
所以x＝3－.
当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32×＋3，
当销售x万件时，年销售收入为
150%×＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，
得年利润y＝(t≥0)．
(2)y＝＝50－≤
50－2 ＝50－2＝42，
当且仅当＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，
所以当促销费定在7万元时，年利润最大．