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[学业达标]
一、选择题
1．等差数列前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝9，则S5－a5＝( )
A．14 B．19 C．28 D．60
【解析】 在等差数列{an}中，a3＝4，S3＝3a2＝9，∴a2＝3，S5－a5＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝2×7＝14.
【答案】 A
2．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
【解析】 a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3(a1＋6d)＝3a7＝3×＝×＝S13.
于是可知S13是常数．
【答案】 C
3．已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
【解析】 由得
所以故|a6|>|a7|.
【答案】 C
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
【解析】 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
【答案】 B
5．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A. B.
C. D．
【解析】 ∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝.又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝ .
【解析】 ∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.
【答案】 5
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，
得7.5
8．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝ 时，Sn取到最大值．
【解析】 ∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0，
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大．
【答案】 5或6
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
【解】 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一 a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
【解】 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
[能力提升]
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14
C．16 D．18
【解析】 Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，
所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，
由Sn＝＝210，得n＝14.
【答案】 B
2．(2015·海淀高二检测)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以所以≤k≤.
因为k∈N*，所以k＝7.
故满足条件的n的值为7.
【答案】 B
3．(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 ．
【解析】 设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝
＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．
【答案】 11 7
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2. 【导学号：05920069】
(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；
(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
(3){Sn}有多少项大于零？
【解】 (1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．
(2)Sn＝－n2＋13n＝－2＋，n∈N*，
∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．
{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.
(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．