高中数学必修5练习 余弦定理 Word版含解析

课时训练2　余弦定理
一、利用余弦定理解三角形
1.在△ABC中,a=1,B=60°,c=2,则b等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.3
答案:C
解析:b2=a2+c2-2accosB=1+4-2×1×2×=3,故b=.
2.在△ABC中,c2-a2-b2=ab,则角C为(　　)
A.60° B.45°或135°
C.150° D.30°
答案:C
解析:∵cosC==-,∴C=150°.
3.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于　　　　. 
答案:120°
解析:由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c边最大,∴角C最大.
∴cosC==-.
∵0°4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=sin C,B=30°,b=2,则边c=　　　　　. 
答案:2
解析:∵在△ABC中,sinA=sinC,∴a=c.
又B=30°,由余弦定理,得cosB=cos30°=,解得c=2.
二、判断三角形形状
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2ccos2,则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案:A
解析:∵b+c=2ccos2,且2cos2=1+cosA,
∴b+c=c(1+cosA),即b=ccosA.
由余弦定理得b=c·,
化简得a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
6.在△ABC中,若sin2A+sin2BA.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
答案:A
解析:由sin2A+sin2B所以cosC=<0,
所以∠C为钝角,
即△ABC为钝角三角形.
7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=2bcos C,试判断△ABC的形状.
解法一:∵cosC=,代入a=2bcosC,
得a=2b·,
∴a2=a2+b2-c2,即b2-c2=0.
∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.
解法二:根据正弦定理=2R,
得a=2RsinA,b=2RsinB,
代入已知条件得2RsinA=4RsinBcosC,
即sinA=2sinBcosC,
∵A=π-(B+C),∴sinA=sin(B+C).
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.
∴sinBcosC-cosBsinC=0.∴sin(B-C)=0.
又-π∴△ABC是等腰三角形.
三、正弦定理、余弦定理的综合应用
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为(　　)
A.- B. C. D.-
答案:A
解析:∵2sinB=3sinC,∴2b=3c.
又b-c=,∴a=2c,b=c.
∴cosA==-.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=　　　　. 
答案:
解析:∵sinC=2sinB,
∴由正弦定理得c=2b.
∵a2-b2=bc,
∴cosA=
=,
∴A=.
10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足4acos B-bcos C=ccos B.
(1)求cos B的值;
(2)若ac=12,b=3,求a,c.
解:(1)已知等式4acosB-bcosC=ccosB,利用正弦定理,得4sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB,
整理,得4sinAcosB=sin(B+C),
即4sinAcosB=sinA,
∵sinA≠0,∴cosB=.
(2)∵ac=12,b=3,cosB=,
∴由b2=a2+c2-2accosB,
得a2+c2=24,
联立a2+c2=24与ac=12,解得a=c=2.
(建议用时:30分钟)
1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C= ,则sin B=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
答案:B
解析:由已知根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,
∴c=2,即B=C,
∴sinB=.
2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cos C等于(　　)
A. B.- C.- D.-
答案:D
解析:由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶3∶4,
可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),
由余弦定理可得cosC==-,故选D.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则(　　)
A.a>b
B.aC.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
答案:A
解析:由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.
4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则的值为(　　)
A.19 B.14 C.-18 D.-19
答案:A
解析:cosB=,
∴=||||cosB=7×5×=19.
5.在不等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)A. B.
C. D.
答案:D
解析:由题意得sin2A再由正弦定理得a20,
则cosA=>0,
∵0又a为最大边,∴A>.
因此得角A的取值范围是.
6.已知在△ABC中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC的形状为　　　　　. 
答案:等边三角形
解析:∵2B=A+C,又A+B+C=180°,∴B=60°.
又b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos60°=a2+c2-ac,
∴有a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,
∴a=c,故△ABC为等边三角形.
7.(2015北京高考,12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=　　　　　. 
答案:1
解析:在△ABC中,由正弦定理知,=2cosA·=2cosA×cosA,
再根据余弦定理,得cosA=,
所以=1.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值为　　　　. 
答案:
解析:由余弦定理得bccosA+accosB+abcosC=.
9.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试判定△ABC的形状.
解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
得(a+b)2-c2=3ab,
即a2+b2-c2=ab.
∴cosC=.
∵0°∵A+B+C=180°,
∴sinC=sin(A+B).
又∵2cosAsinB=sinC,
∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
∴sin(A-B)=0.
∵A,B均为△ABC的内角,∴A=B.
因此△ABC为等边三角形.
10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.
解:由正弦定理得=2cosA,
∴.
又a+c=10,∴a=4,c=6.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
得,
∴b=4或b=5.
当b=4时,∵a=4,∴A=B.
又C=2A,且A+B+C=π,
∴A=,与已知cosA=矛盾,
不合题意,舍去.
当b=5时,满足题意,∴b=5.