课时跟踪检测(五) 柱坐标系
一、选择题
1．设点M的直角坐标为(1，－，2)，则它的柱坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选D ρ＝＝2，tan θ＝－，
又x>0，y<0，M在第四象限，
∴θ＝，
∴柱坐标是.
2．点P的柱坐标为，则点P与原点的距离为( )
A. B．2 C．4 D．8
解析：选B 点P的直角坐标为(4，4，2)．
∴它与原点的距离为：
＝2.
3．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)
答案：C
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选C (1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.
二、填空题
5．设点Μ的柱坐标为，则点Μ的直角坐标为________．
解析：x＝ρcos θ＝2cos＝.
y＝ρsin θ＝2sin ＝1.
∴直角坐标为(，1,7)．
答案：(，1,7)
6．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．
解析： ∵x＞0，y＝0，
∴tan θ＝0，θ＝0.
ρ＝＝1.
∴柱坐标为(1,0,5)．
答案：(1,0,5)
7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________．
答案：中心轴为z轴，底半径为2的圆柱面
三、解答题
8．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称点的柱坐标．
解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．
由变换公式得
ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝.
tan θ＝＝－1，
又x＞0，y＜0，∴θ＝.
∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为.
9．已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标．
解：M的直角坐标为
∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．
∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，
∴ρ＝.tan θ＝＝1，
又x＜0，y＜0，
∴θ＝.
∴其柱坐标为.
∴点M关于原点O对称的点的柱坐标为.
10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．
解：以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在平面BCD上建立极坐标系．过O点与平面BCD垂直的线为z轴．
过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，
则|BA′|＝×＝，|AA′|＝＝，
∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝，
则A，B(0,0,0)，C，D.