高中数学必修5学业分层测评6 数列的概念与简单表示法 Word版含解析

学业分层测评（六）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下面有四个结论，其中叙述正确的有(　　)
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．
A．①②　　　B．②③　　　C．③④　　　D．①④
【解析】　数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．
【答案】　B
2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　)
A．70 B．28
C．20 D．8
【解析】　由an＝
得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
【答案】　C
3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是(　　)
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
【解析】　数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．
【答案】　A
4．(2015·宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【解析】　an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．
【答案】　A
5．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的(　　)
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
【解析】　∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．
【答案】　C
二、填空题
6．(2015·黄山质检)已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为 ．
【解析】　由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N*，∴n≤9.
【答案】　9
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝ .
【解析】　∴a2－a＝2，
∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，
∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.
【答案】　2
8．(2015·宁津高二检测)如图2­1­1①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2­1­1②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝ .
图2­1­1
【解析】　因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，
OAn＝，…，
所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
【答案】　
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)1,3,6,10,15，…；
(4)7,77,777，…. 【导学号：05920064】
【解】　(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝.
(2)把分母统一为2，则有，，，，，…，因而有an＝.
(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.
(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有an＝(10n－1)．
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2016；
(3)2016是否为数列{an}中的项？
【解】　(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2.
(2)a2 016＝4×2 016－2＝8 062.
(3)由4n－2＝2 016得n＝504.5∉N*，
故2 016不是数列{an}中的项．
[能力提升]
1．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　)
A. B．5
C．6 D．
【解析】　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.
【答案】　B
2．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，3)
C．(－∞，2) D．(－∞，3]
【解析】　an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．
【答案】　B
3．根据图2­1­2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有 个点．
图2­1­2
【解析】　观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．
【答案】　n2－n＋1
4．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项．
【解】　(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．
令an＝1，得＝1，
而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，
则有an＝an＋1，即＝.
解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．