课时跟踪检测(三) 相似三角形的判定
一、选择题
1．如图所示，点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中相似三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
解析：选B 有3对，因为∠ABC＝∠ADF，∠AEB＝∠EAD，所以△ABE∽△FDA，
因为∠ABC＝∠DCE，∠E为公共角，
所以△BAE∽△CFE.
因为∠AFD＝∠EFC，∠DAF＝∠AEC，
所以△ADF∽△ECF.
2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．
3．如图，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是( )
A.＝
B.＝
C．AC2＝CD·CB
D．CD2＝AC·AB
解析：选C ∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.
4．如图，在等边三角形ABC中，E为AB的中点，点D在AC上，使得＝，则有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
解析：选B 因为∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD.
二、填空题
5．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.
解析：∵∠BAC＝∠ADC，
又∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC.
∴＝.
又∵AC＝8，BC＝16.
∴CD＝4.
答案：4
6．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则AD＝________，BD＝________.
解析：由题设可求得AB＝5，
∵Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴＝.∴AD＝＝.
又∵Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴＝.∴BD＝＝.
答案：
7．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF＝4，BC＝5，则DF＝________.
解析：连接AF.
∵EF⊥AD，AE＝ED，
∴AF＝DF，
∠FAD＝∠FDA.
又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF，
∠FDA＝∠BAD＋∠B，
且∠DAC＝∠BAD，
∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB，
∴△AFC∽△BFA.
∴＝.
∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.
∴AF＝6，即DF＝6.
答案：6
三、解答题
8.如图，D在AB上，且DE∥BC交AC于点E，F在AD上，且AD2＝AF·AB.
求证：△AEF∽△ACD.
证明：∵DE∥BC，∴＝.
∵AD2＝AF·AB，∴＝.
∴＝.
又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD.
9.如图，直线EF交AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，且AB·CD＝DE·AC.
求证：AE·CE＝DE·EF.
证明：∵AB·CD＝DE·AC
∴＝.
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
∴△ACB∽△DCE.
∴∠A＝∠D.
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.
∴＝.
∴AE·CE＝DE·EF.
10.如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.
(1)求AC的长；
(2)求的值．
解：(1)∵EF∥CD，
∴＝.
∵AE＝6，ED＝3，AF＝8，
∴＝.
∴AC＝12.
(2)∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，
又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B.
又∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
∴＝＝＝.
∴＝.