第一章测评A
(基础过关卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(x)＝，则f′(e)＝( )
A． B．
C．－ D．－
2．曲线f(x)＝ex＋x在(1，f(1))的切线方程为( )
A．(1＋e)x－y＝0
B．ex－y＋1＝0
C．(1＋e)x＋y－2(1＋e)＝0
D．x－(1＋e)y＝0
3．函数f(x)＝aln x＋x在x＝1处取得极值，则a的值为( )
A． B．－1
C．0 D．－
4．函数f(x)＝( )
A．在(0,2)上单调递减
B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C．在(0,2)上单调递增
D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝2x2，x∈(－1,1)．如果f(x)＜f(1－x)，则实数x的取值范围为( )
A． B．(－1,1)
C． D．
6．cos 2xdx＝( )
A． B．
C． D．－
7．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
8．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是( )
A．a＞－1 B．－1＜a＜0
C．0＜a＜1 D．a＞1
9．如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A．3π B．3π
C．3π D．3π
10．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．由曲线y＝ex＋x与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成图形的面积等于__________．
12．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__________．
13．函数f(x)＝(x2－3)ex在[0,2]上的最大值为__________．
14．若f(x)＝则f(x)dx＝__________.
15．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a＞0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的减区间是__________．
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题6分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[－2,2]的最大值与最小值．
17．(本小题6分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．
18．(本小题6分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)若y＝xf(x)＋的图象总在直线y＝a的上方，求实数a的取值范围．
19．(本小题7分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
参考答案
一、1．解析：∵f′(x)＝＝，
∴f′(e)＝＝－.
答案：D
2．解析：f′(x)＝1＋ex，k＝f′(1)＝1＋e.
∵f(1)＝1＋e，
∴切线方程为y－(1＋e)＝(1＋e)(x－1)，
即(1＋e)x－y＝0.
答案：A
3．解析：f′(x)＝＋1，令f′(x)＝0，得x＝－a，
所以函数f(x)在x＝－a处取得极值，
所以a＝－1.
答案：B
4．解析：f′(x)＝＝＝.
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.
∴x∈(－∞，0)和x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，
x∈(0,1)和x∈(1,2)时，f′(x)＜0，故选B．
答案：B
5．解析：∵f′(x)＝2x2≥0，∴f(x)在(－1,1)上单调递增，故x＜1－x，又－1＜x＜1，－1＜1－x＜1，解得0＜x＜.
答案：D
6．解析：cos 2xdx＝×sin 2x＝.
答案：A
7．解析：由图可知f(x)在(0,2)和(4，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)和(2,4)上单调递增，∴f(x)在x＝0时取极大值，x＝2取极小值，故C正确．
答案：C
8．解析：∵f(x)在x＝a处取得极大值，∴f(x)在x＝a附近左增右减，分a＞0，a＝0，a＜0讨论易知－1＜a＜0.
答案：B
9．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，∴h＝.
V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
答案：A
10．解析：f′(x)＝－x＋.
∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)＝－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∴b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
又∵x(x＋2)＝(x＋1)2－1＜－1，
∴b≤－1.
答案：C
二、11．解析：由已知面积S＝(ex＋x)dx＝＝e＋－1＝e－.
答案：e－
12．解析：∵y′＝3x2－10＝2，∴x＝±2.
又点P在第二象限，∴x＝－2.
∴点P的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
13．解析：f′(x)＝2xex＋ex(x2－3)＝ex(x2＋2x－3)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍)，
∴在x∈[0,1]上，f(x)递减，在[1,2]上，f(x)递增．
又∵f(0)＝－3，f(2)＝e2，
∴f(x)max＝e2.
答案：e2
14．解析：f(x)dx＝(－x)dx＋(x2＋3)dx
＝＋＝.
答案：
15．解析：f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，得x＝±.
∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减．
∴f(－)＝6，f()＝2.
∴
解得a＝1，b＝4.
∴f′(x)＝3x2－3.
∴令f′(x)＜0，得－1＜x＜1.
答案：(－1,1)
三、16．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意
即
解得经检验符合题意，
∴f(x)＝x3－x2－2x.
(2)由(1)知f′(x)＝3(x－1)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
－
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－6
极大值
极小值
－
2
由上表知fmax(x)＝f(2)＝2，fmin(x)＝f(－2)＝－6.
17．解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，
∴a＋b＝4.①
f′(x)＝3ax2＋2bx，
则f′(1)＝3a＋2b.
由已知得f′(1)·＝－1，
即3a＋2b＝9.②
由①②，得a＝1，b＝3.
(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，
令f′(x)＝3x2＋6x≥0，
得x≥0或x≤－2，
故由f(x)在[m，m＋1]上单调递增，得[m，m＋1]⊆[0，＋∞)或[m，m＋1]⊆(－∞，－2]，
∴m≥0或m＋1≤－2，
即m≥0或m≤－3.
∴m的取值范围为(－∞，－3]∪[0，＋∞)．
18．解：(1)f′(x)＝.
当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．
(2)依题意得，不等式a＜ln x＋对于x＞0恒成立．
令g(x)＝ln x＋，
则g′(x)＝－＝.
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝＞0，
则g(x)是(1，＋∞)上的增函数；
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，则g(x)是(0,1)上的减函数．
所以g(x)的最小值是g(1)＝1，从而a的取值范围是(－∞，1)．
19．解：(1)由题意，该产品一年的销售量y＝，
将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.
该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.
L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]
＝500e40－x(31＋a－x)．
①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，
当且仅当a＝4，x＝35时取等号．
所以L(x)在[35,41]上单调递减．
因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.
②当4＜a≤5时，L′(x)＞0⇔35≤x＜31＋a；
L′(x)＜0⇔31＋a＜x≤41.
所以L(x)在[35,31＋a)上单调递增，在(31＋a,41]上单调递减．
因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.
答：当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；
当4＜a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．