第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.2 组合
第2课时 组合的综合应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有( )
A．27种 B．24种 C．21种 D．18种
解析：分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以取法共有15＋6＝21(种)．
答案：C
2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
解析：依题意，满足题意的选法共有C×2×2＝24(种)．
答案：B
3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( )
A．24种 B．18种 C．12种 D．96种
解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有C种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A种方法，所以所求方法有CA＝18(种)．
答案：B
4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C＋C＝10(种)．
答案：A
5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．120种 B．48种 C．36种 D．18种
解析：依题意，所求播放方式的种数为CCA＝2×3×6＝36.
答案：C
二、填空题
6．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．
解析：每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C＝10(种)．
答案：10
7．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同选修的方案(用数字作答)．
解析：分两类，第一类学生不选A，B，C中的任意一门，选法有C＝15(种)．第二类学生从A，B，C中选一门，再从其他6门中选3门课程，共有CC＝60种选法．所以选法共有15＋60＝75(种)．
答案：75
8．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．
解析：先从8个顶点中任取4个的取法为C种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C－12＝58(个)．
答案：58
三、解答题
9．为了提高学生参加体育锻炼的热情，光明中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？
解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有C场比赛，4个组共计4C场．
第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛C场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮的比赛应进行C＝4(场)．
综上，两轮比赛共进行4C＋C－4＝84(场)．
10．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3)分成每组都是2本的三组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
解：(1)分三步：选选一本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C有种选法；对于余下的三本全选有C种选法，由分步乘法计数原理知选法有CCC＝60(种)．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此选法共有CCCA＝360(种)．
(3)先分三步，则应是CCC种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书分别为A，B，C，D，E，F，若第一步取了(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，AB，CD)，(EF，CD，AB)共A种情况，而且这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有＝15(种)．
(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有·A＝CCC＝90(种)．
B级 能力提升
1．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( )
A．36个 B．72个 C．63个 D．126个
解析：此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C＝126(个)．
答案：D
2．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．
解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C－C＝16，
则6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4.即女生有2人．
答案：2
3．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解：法一 依0与1两个特殊值分析，可分三类：
(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位；有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个．
(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个．
(3)0和1都不取，有不同三位数C·23·A个．
综上所述，不同的三位数共有
CCC·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个)．
法二 任取三张卡片可以组成不同三位数C·23·A个，
其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，
故可组成的不同三位数共有C·23·A－C·22·A＝432(个)．