自我小测
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积S等于( )
A．(x－x3)dx B．(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx D．2(x－x3)dx
2．如图，阴影部分的面积为( )
A．9 B． C． D．
3．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的封闭区域的面积为，则k＝( )
A．3 B．2 C．1 D．
4．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积S为( )
A． B． C． D．
5．由曲线y＝x2＋2与y＝3x，x＝0所围成的平面图形的面积为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．椭圆＋＝1围成的面积是__________．
7．直线x＝，x＝与曲线y＝sin x，y＝cos x围成平面图形的面积为__________．
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为__________．
9．计算由抛物线y2＝x与直线x－2y－3＝0所围成的平面图形的面积．
10．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值．
参考答案
1．解析：如图，
阴影部分的面积S＝2(x－x3)dx.故选C．
答案：C
2．解析：由求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．
结合图形可知阴影部分的面积为
S＝[－x2－(x－2)]dx＝(－x2－x＋2)dx＝＝.
答案：B
3．解析：由消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则所求区域的面积为
S＝(kx－x2)dx＝＝＝，则k3＝27，解得k＝3.
答案：A
4．解析：作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．
解方程组得曲线y＝x2，y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为S＝(x2－x3)dx＝＝－＝.
答案：A
5．解析：如图，由x2＋2＝3x，得x＝1，x＝2，直线y＝3x与抛物线y＝x2＋2的交点坐标为(1,3)，(2,6)，
所求的面积为S＝(x2＋2－3x)dx＋(3x－x2－2)dx＝＋＝1.
答案：D
6．解析：设椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1，则由对称性，得椭圆面积S＝4S1.
在第一象限内椭圆方程可化为y＝，
故S1＝dx＝dx.
而dx表示以5为半径的圆的面积，如图．
从而dx＝π·52＝.
故S1＝×＝5π，从而S＝20π.
答案：20π
7．解析：由图可知，
图形面积S＝(sin x－cos x)dx＝(－cos x－sin x)
＝－
＝－(－)＝2.
答案：2
8．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b⇒f′(0)＝b⇒b＝0，
令f(x)＝0⇒x＝－a(a＜0)，
＝S＝
＝＝⇒a＝－3.
答案：－3
9．解法一：由得抛物线与直线的交点为P(1，－1)，Q(9,3)(如图所示)，
所以S＝[－(－)]dx＋dx
＝2dx＋dx
＝＋
＝＋＝10.
解法二：抛物线和直线方程可改写为x＝y2，x＝2y＋3，则S＝(2y＋3－y2)dy＝＝10.
10．解：由定积分的性质与微积分基本定理，
得S＝S1＋S2
＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx
＝＋
＝t3－t3＋－t2－t3＋t3
＝t3－t2＋，t∈(0,1)，
所以S′＝4t2－2t，所以t＝或t＝0(舍去)．
当t变化时，S′，S变化情况如下表：
t
S′
－
0
＋
S
极小值
所以当t＝时，S最小，且Smin＝.