第17课时 平面向量的实际背景及其基本概念
课时目标
1.通过物理、几何模型的探究，了解向量的实际背景．掌握向量的有关概念及向量的几何表示．
2．掌握相等向量与共线向量的概念．
识记强化
1．既有大小，又有方向的量叫向量．
2．向量可以用有向线段表示，也可用字母表示，印刷中用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写时，可以用带箭头的小写字母，，，…表示．
3．表示向量的有向线段的长度，叫向量的模，模为零的向量叫零向量；模为1的向量叫单位向量．
4．模相等、方向相同的向量叫相等向量；方向相同或相反的两个向量叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任何向量共线．
课时作业
一、选择题
1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
答案：A
解析：速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有方向和大小．
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A. B.
C．1 D．2
答案：C
解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.
3．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
答案：D
解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
4．如图，在⊙O中，向量、、是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
答案：C
5．下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线
D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
答案：C
解析：因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．
6．给出下列四个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a＝b，b＝c，则a＝c；
③设a0是单位向量，若a∥a0，且|a|＝1，则a＝a0；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②正确．根据向量相等的定义判定．
③不正确．a与a0均是单位向量，a＝a0或a＝－a0.
④不正确．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．
二、填空题
7．在四边形ABCD中，∥，||≠||，则四边形ABCD是________．
答案：梯形
8．给出下列四个条件：(1)a＝b；(2)|a|＝|b|；(3)a与b方向相反；(4)|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．
答案：(1)(3)(4)
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
9.
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则
(1)与相等的向量有________；
(2)与共线的向量有________；
(3)与模相等的向量有________个．
答案：(1)，，；(2)，，，，，，，，；(3)23
解析：根据向量的相关概念，可得(1)与相等的向量有，，；(2)与共线的向量有，，，，，，，，；(3)正六边形的每一条边和每一条中心与顶点连成的线段，长度与的模都相等，这样的线段共有12条，再注意到方向，共24个向量，除去本身，满足条件的向量有23个．
三、解答题
10．已知在四边形ABCD中，∥，求与分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)||＝||，且与不平行．
∵∥，∴四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，则||＝||，同时两向量不共线．
(2)＝(或∥)．
若＝，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．
11．一架飞机向北飞行了300 km，然后又向西飞行了300 km.
(1)飞机飞行的路程是多少？
(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的什么方位？距离出发地多远？(保留根号)
解：(1)300＋300＝600(km)，飞机飞行的路程是600 km.
(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的西北方向(或北偏西45°)，距离出发地300 km.
能力提升
12．如图所示的4×5的矩形(每个小方格都是正方形)，与相等，并且要求向量的起点和终点都在方格的顶点处的向量可以作出________个．
答案：3
13．如图，已知正比例函数y＝x的图象m与直线n平行，A、B(x，y)是直线n上的两点，问：
(1)x、y为何值时，＝0?
(2)x、y为何值时，为单位向量？
解：(1)已知点B(x，y)是直线n上的动点，要使得＝0，必须且只需点B(x，y)与A重合，于是x＝0，y＝－，即当x＝0，y＝－时，＝0.
(2)
如图，要使得是单位向量，必须且只需||＝1.由已知m∥n且A，
∴点B1的坐标是.
在Rt△AOB1中，有||2＝||2＋||2＝1.
上式表明，向量是单位向量，同理可得，
当点B2的坐标是时，向量也是单位向量．
综上，有当x＝，y＝0或x＝－，y＝－时，为单位向量．