1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
课时目标 1.会用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.明确函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)中常数A、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性(如对称轴，对称中心)．
1．简谐振动
简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中，______叫做振幅，周期T＝______，频率f＝______，相位是______，初相是______．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：
定义域
R
值域
__________
周期性
T＝____________
奇偶性
φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是__________函数
单调性
单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区间可由______________________________得到
一、选择题
1．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)为偶函数的条件是( )
A．φ＝＋2kπ (k∈Z) B．φ＝＋kπ (k∈Z)
C．φ＝2kπ (k∈Z) D．φ＝kπ(k∈Z)
2．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝D．T＝6π，φ＝
3．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
5．函数y＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
6．设函数f(x)＝2sin，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4B．2C．1D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是__________．
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.
9．函数y＝sin2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．
10．关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于对称；
④y＝f(x)图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．
三、解答题
11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
能力提升
13．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
14．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，那么a等于( )
A.B．－C．1D．－1
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
答案
知识梳理
1．A ωx＋φ φ
2．[－A，A] kπ (k∈Z) ＋kπ (k∈Z) 非奇非偶 2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z) 2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)
作业设计
1．B
2．A [T＝＝＝6，代入(0,1)点得sinφ＝.∵－<φ<，∴φ＝.]
3．D [由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1.]
4．D [由图象知＝－＝，∴T＝π，ω＝2.且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－.]
5．C [由，解得.]
6．B [对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．
∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2.
∴|x1－x2|min＝＝×＝2.]
7．x＝－
解析 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.
8.
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝π时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
9.
解析 y＝sin2x向右平移φ个单位得
f(x)＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．
由f＝sin＝±1，
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝π，
∴φ＝π或作出y＝sin2x的图象观察易知φ＝－＝π.
10．②③
解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ (k∈Z)．
∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式得：
f(x)＝4cos＝4cos.
∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，
∴x＝π－，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，
∴x＝＋.∴④错．
11．解 (1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝.
∴y＝sin
(2)列出x、y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示：
12．解 ∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，又0≤φ≤π，∴φ＝.
由图象关于M对称可知，sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在上单调函数，所以T≥π，即≥π，
∴ω≤2，又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
13．A [由图象可知A＝1，T＝－(－)＝π，∴ω＝＝2.
∵图象过点(，0)，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.∴y＝sin(2x＋＋2kπ)＝sin(2x＋)．
故将函数y＝sinx先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，
纵坐标不变，可得原函数的图象．]
14．D [方法一 ∵函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于x＝－对称，
设f(x)＝sin2x＋acos2x，则f＝f(0)
∴sin＋acos＝sin0＋acos0.∴a＝－1.
方法二 由题意得f＝f，
令x＝，有f＝f(0)，即－1＝a.]