自我小测
1．设f(x)＝x2(2－x)，则f(x)的单调递增区间是( )
A． B．
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪
2．若函数f(x)＝xex，当x1＜x2＜－1时，则( )
A．f(x1)＞f(x2) B．f(x1)＜f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．f(x1)f(x2)＜0
3．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为( )
A．a≤3 B．a＜3 C．a＞3 D．a≥3
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时( )
A．f′(x)＞0，g′(x)＞0 B．f′(x)＞0，g′(x)＜0
C．f′(x)＜0，g′(x)＞0 D．f′(x)＜0，g′(x)＜0
6．若函数f(x)＝x3＋ax＋5的单调递减区间是(－2,2)，则实数a的值为________．
7．函数f(x)＝(x2－2x)ex的单调递增区间为__________．
8．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是__________．
9．已知f(x)＝ex－ax，求f(x)的单调递增区间．
10．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，求a的取值范围．
参考答案
1．解析：f(x)＝－x3＋2x2，则f′(x)＝－3x2＋4x，
令f′(x)＞0，得－3x2＋4x＞0，解得0＜x＜.
答案：A
2．解析：∵f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x＜－1时，有x＋1＜0.
∴f′(x)＝ex(x＋1)＜0.
∴f(x)在(－∞，－1)上为递减函数．
∵x1＜x2＜－1，∴f(x2)＜f(x1)＜0.
答案：A
3．解析：∵f′(x)＝3x2－a，由已知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，
∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立．
又∵0≤3x2＜3，∴a≥3.
检验可得a＝3符合题意．
答案：D
4．解析：由y＝f(x)图象可知，x＜0时，f(x)是增函数，f′(x)＞0；x＞0时，函数图象先增后减再增，其对应的导数是，先有f′(x)＞0，再有f′(x)＜0，最后f′(x)＞0，因此D符合条件．
答案：D
5．解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，
∴x＜0时，f′(x)＞0，g′(x)＜0.
答案：B
6．解析：f′(x)＝3x2＋a，依题意3x2＋a＜0的解集为(－2,2)，故a＝－12.
答案：－12
7．解析：f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x2－2x)′ex＋(x2－2x)·(ex)′＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex.
令f′(x)＞0，解得x＜－或x＞，
所以f(x)的递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
答案：(－∞，－)，(，＋∞)
8．解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，得x＝.
据题意，解得1≤k＜.
答案：
9．解：因为f(x)＝ex－ax，
所以函数的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
令f′(x)≥0得ex≥a，
当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；
当a＞0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
10．解：由f(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－ax－2.
因为f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，
－ax－2＜0有解，即a＞－有解．
设G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可．
而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.
所以a＞－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)．