第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用
2.2.2 事件的相互独立性
A级 基础巩固
一、选择题
1．有以下3个问题：
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
(2)袋中有5红、5黄10个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到红球”，事件N：“第2次摸到红球”；
(3)分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．
这3个问题中，M，N是相互独立事件的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解析：只有(1)中的事件M，N是相互独立事件．
答案：C
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )
A. B. C. D.
解析：P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.
答案：A
3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
解析：设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，
则P(A)＝，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，
则P(B)＝.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
答案：A
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
解析：所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝.
答案：B
5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( )
A. B. C. D.
解析：设加工出来的零件为次品为事件，
则A为加工出来的零件为正品．所以P(A)＝1－P()＝1－＝.
答案：C
二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
答案：
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．
解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案：0.65 0.3
8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
解析：都未解决的概率为＝×＝，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，所以P＝1－＝.
答案：
三、解答题
9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率．
解：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P＝P(AB)1－P(CD)]＝P(A)P(B)1－P(CD)]＝××＝.
所以灯亮的概率为1－＝.
10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
B级 能力提升
1．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
答案：C
2．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
解析：分情况讨论：若共有3人被治愈，则P1＝C0.93×(1－0.9)＝0.291 6；若共有4人被治愈，则P2＝0.94＝0.656 1.故至少有3人被治愈的概率为P＝P1＋P2＝0.947 7.
答案：0.947 7
3．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：
(1)事件A、B、C只发生两个；
(2)事件A、B、C至多发生两个．
解：(1)记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，AB；AC；BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，
所以概率为P(A1)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝＋＋＝，
所以事件A，B，C只发生两个的概率为.
(2)记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋＋＝.
所以事件A、B、C至多发生两个的概率为.