课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、选择题
1．(山东高考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b 的夹角为，则实数m＝( )
A．2 B.
C．0 D．－
答案：B
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
4．(湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
答案：A
5．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪
B.
C.∪
D.
答案：A
二、填空题
6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝，则|·n|的最大值为________．
答案：4
7.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．
答案：
8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
答案：∪∪
三、解答题
9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，
有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，
·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝＝＝－.
11．设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.
解：(1)证明：由题意知，
a＋b＝，
a－b＝，
∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，∴－cos α＋sin α＝0，
∴tan α＝，
又0≤α<2π，∴α＝或α＝.