【创新设计】2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课时作业 新人教版选修2-2
明目标、知重点
1．了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
2．应用数学归纳法时特别注意：
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．
情境导学]
多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下； 而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？
探究点一 数学归纳法的原理
思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？
答 (1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．
所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．
思考2 对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？
答 a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
猜想an＝(n∈N*)．
以下为证明过程：
(1)当n＝1时，a1＝1＝，所以结论成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时ak＋1＝(已知)
＝(代入假设)
＝(变形)
＝(目标)
即当n＝k＋1时，结论也成立．
由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an＝成立．
思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？
答 一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．
证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．
(2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，
则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝＝(k＋1)2等式也成立．
由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．
答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．
探究点二 用数学归纳法证明等式
例1 用数学归纳法证明
12＋22＋…＋n2＝(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝＝1，
等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即
12＋22＋…＋k2＝，
那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝
＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．
反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
跟踪训练1 求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
证明 当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝，
所以等式成立．
假设n＝k(k∈N*)时，
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋成立．
那么当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋－]
＝＋＋…＋＋，
所以n＝k＋1时，等式也成立．
综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．
探究点三 用数学归纳法证明数列问题
例2 已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解 S1＝＝；
S2＝＋＝；
S3＝＋＝；
S4＝＋＝.
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.
于是可以猜想Sn＝.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，
右边＝＝＝，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
＋＋＋…＋＝，
那么，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．
反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．
跟踪训练2 数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．
解 由a1＝2－a1，
得a1＝1；
由a1＋a2＝2×2－a2，
得a2＝；
由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，
得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，
得a4＝.
猜想an＝.
下面证明猜想正确：
(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．
(2)假设当n＝k时猜想成立，
则有ak＝，
当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
∴ak＋1＝2(k＋1)－Sk]
＝k＋1－(2k－)
＝，
所以，当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可知，an＝对任意正整数n都成立．
1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案 C
解析 由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
答案 C
解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．
上述证明的错误是________．
答案 未用归纳假设
解析 本题在由n＝k成立，
证n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上假设条件，
这与数学归纳法的要求不符．
4．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)
证明 (1)当n＝1时，左式＝1＋，
右式＝＋1，
所以≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．
呈重点、现规律]
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、基础过关
1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出( )
A．当n＝6时命题不成立
B．当n＝6时命题成立
C．当n＝4时命题不成立
D．当n＝4时命题成立
答案 B
2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
答案 B
解析 由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 C
解析 因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.
4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是( )
A．1 B.
C．1＋＋ D．以上答案均不正确
答案 C
5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
答案 D
解析 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，
∴项数为n2－n＋1.
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推测an＝，故选B.
7．用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即
(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，
当n＝k＋1时，
(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)
＝(1－)＝＝＝，
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．
二、能力提升
8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
答案 B
解析 n＝k＋1时，
左端为(k＋2)(k＋3)…(k＋1)＋(k－1)]·(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，
∴应增乘2(2k＋1)．
9．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝________.
答案 f(k)＋＋＋－
10．证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________．
答案 缺少步骤归纳奠基
11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，
右边＝(－1)1－1×＝1，
结论成立．
(2)假设当n＝k时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，
那么当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k·(k＋1)
＝(－1)k·.
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．
12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝.
(2)证明 ①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．
②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，
即ak＝5×2k－2，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.
＝5＋＝5×2k－1.
故n＝k＋1时公式也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2.
所以数列{an}的通项公式为
an＝.
三、探究与拓展
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解 (1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.
(2)猜想：an＝.
下面用数学归纳法证明
①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝.
那么，当n＝k＋1时Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
又Sk＝1－kak＝，
所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
从而ak＋1＝＝.
即n＝k＋1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．