高中数学必修4：模块综合测试卷 Word版含解析

模块综合测试卷
班级____　姓名____　考号____　分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．－3290°角是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：D
解析：－3290°＝－360°×10＋310°
∵310°是第四象限角
∴－3290°是第四象限角
2．在单位圆中，一条弦AB的长度为，则该弦AB所对的弧长l为(　　)
A.π B.π
C.π D．π
答案：A
解析：设该弦AB所对的圆心角为α，由已知R＝1，
∴sin＝＝，∴＝，∴α＝π，∴l＝αR＝π.
3．下列函数中周期为的偶函数是(　　)
A．y＝sin4x
B．y＝cos22x－sin22x
C．y＝tan2x
D．y＝cos2x
答案：B
解析：A中函数的周期T＝＝，是奇函数．B可化为y＝cos4x，其周期为T＝＝，是偶函数．C中T＝，是奇函数，D中T＝＝π，是偶函数．故选B.
4．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则x－y的值为(　　)
A．3 B．－3
C．0 D．2
答案：A
解析：由原式可得解得∴x－y＝3.
5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD是(　　)
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
答案：D
解析：＝＋＋＝－8a－2b＝2，
且||≠||
∴四边形ABCD是梯形．
6．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[0,2]
C．[1,2] D．[，2]
答案：D
解析：|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cosθ，因为θ∈，所以2＋2cosθ∈[2,4]，所以|a＋b|的取值范围是[，2]．
7．已知cosα＝－，且α∈，则tan＝(　　)
A．－ B．7
C. D．－7
答案：B
解析：∵α∈，cosα＝－，∴sinα＝，tanα＝－，
tan＝＝7.
8．函数f(x)＝2sin的部分图象是(　　)
答案：C
解析：∵f(x)＝2sin，
∴f(π－x)＝2sin＝2sin
＝f(x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称．排除A、B、D.
9．y＝2cos的单调减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案：A
解析：y＝2cos＝2cos.由2kπ≤2x－≤π＋2kπ，(k∈Z)
得＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)时，y＝2cos单调递减．故选A.
10．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为直线x＝和x＝是函数图象中相邻的两条对称轴，所以－＝，即＝π，T＝2π.又T＝＝2π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin(x＋φ)．因为直线x＝是函数图象的对称轴，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝，检验知，此时直线x＝也为对称轴．故选A.
11．若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a＋b|的最小值为(　　)
A.－1 B．2－
C. D．2
答案：C
解析：|a＋b|＝≥.
12．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：C
解析：∵α＋＝－，
∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝＝.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知|a|＝4，a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为__________．
答案：2
解析：由投影公式计算：|a|cos＝2 .
14．函数y＝2sinxcosx－1，x∈R的值域是______．
答案：[－2,0]
解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R，
∴sin2x∈[－1,1]，∴y∈[－2,0]．
15．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
答案：
解析：由f(x)与g(x)的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x∈，所以2x－∈，则f(x)的最小值为3sin＝－，最大值为3sin＝3，
所以f(x)的取值范围是.
16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)
①若sinx＋siny＝，则siny－cos2x的最大值是
②函数y＝sin的单调增区间是(k∈Z)
③函数f(x)＝是奇函数
④函数y＝tan－的最小正周期是π
答案：①④
解析：①siny－cos2x＝sin2x－sinx－，∴sinx＝－1时，最大值为.
②2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ－≤x≤kπ＋.
③定义域不关于原点对称．
④y＝tan－＝－，∴T＝π.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知角α终边上一点P(－4,3)，求的值．
解：∵tanα＝＝－
∴＝＝tanα＝－.
18．(12分)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(1，－2)，且m·n＝0.
(1)求tanA的值；
(2)求函数f(x)＝cos2x＋tanA·sinx(x∈R)的值域．
解：(1)∵m·n＝0，
∴sinA－2cosA＝0.
∴tanA＝＝2.
(2)f(x)＝cos2x＋tanAsinx＝cos2x＋2sinx
＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋.
∵－1≤sinx≤1
∴sinx＝时，f(x)取最大值，
sinx＝－1时，f(x)取最小值－3，
∴f(x)的值域为.
19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2 ，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)．
∵|c|＝2 ，∴＝2 ，即x2＋y2＝20.①
∵c∥a，a＝(1,2)
∵2x－y＝0，即y＝2x，②
联立①②得或
∴c＝(2,4)或(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0.
∵|a|2＝5，|b|2＝，代入上式得a·b＝－，
∴cosθ＝＝＝－1.
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝π.
20．(12分)已知函数f(x)＝cos2－sin2x.
(1)求f的值；
(2)若对于任意的x∈，都有f(x)≤c，求实数c的取值范围．
解：(1)f＝cos2－sin2＝cos＝.
(2)f(x)＝－(1－cos2x)
＝
＝＝sin.
因为x∈，所以2x＋∈，
所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
所以对任意x∈，f(x)≤c等价于≤c.
故当对任意x∈，f(x)≤c时，c的取值范围是.
21．(12分)已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.
又2α∈，∴cos2α＝＝，
∴tan2α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，
∴cos＝，
于是sin2＝2sincos＝.
又sin2＝－cos2β，∴cos2β＝－.
又2β∈，∴sin2β＝，又cos2α＝＝，
∴cosα＝，∴sinα＝.
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－.
22．(12分)如图，点P是函数y＝Asin(其中A>0，φ∈[0，π))的图象与y轴的交点，点Q，点R是它与x轴的两个交点．
(1)求φ的值；
(2)若PQ⊥PR，求A的值．
解：(1)∵函数经过点P，∴sinφ＝，
又∵φ∈[0，π)，且点P在递增区间上，∴φ＝.
(2)由(1)可知y＝Asin.
令y＝0，得sin＝0，
∴x＋＝kπ，(k∈Z)，∴可得x＝－，，
∴Q，R.
又∵P，∴＝，＝.
∵PQ⊥PR，∴·＝－＋A2＝0，解得A＝.