高中数学必修4：第28课时 两角和与差的正弦、余弦 Word版含解析

第28课时　两角和与差的正弦、余弦
　　　　　　课时目标
　1.掌握两角和的余弦，两角和与差的正弦公式．
2．能熟练运用公式进行恒等变形．
　　识记强化
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
　　课时作业
一、选择题
1．coscos＋sinsin的值为(　　)
A. B．0
C. D．1
答案：A
解析：由两角差的余弦公式，得coscos＋sinsin＝cos＝cos＝，故选A.
2．已知cos＋sinα＝，则sin(α＋)的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案：C
解析：原方程可化为cosα＋sinα＝ ，
即sin＝，
∴sin＝－sin＝－，故选C.
3．函数f(x)＝cos－cos是(　　)
A．周期为π的偶函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数
D．周期为2π的奇函数
答案：D
解析：因为f(x)＝cos－cos＝－＝－sinx，所以函数f(x)的最小正周期为＝2π.又f(－x)＝－sin(－x)＝sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选D.
4．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为(　　)
A．cosx B．sinx
C．cos(x＋y) D．cos(x－y)
答案：A
解析：原式＝cos[(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)siny
＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y)siny＋2sin(x＋y)siny
＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny
＝cosx.
5．在sinx＋cosx＝2a－3中，a的取值范围是(　　)
A.≤a≤ B．a<
C．a> D．－≤a≤－
答案：A
解析：∵sinx＋cosx＝2a－3，∴sinx＋cosx＝a－.
∴sin＝a－.
∵≤1，
∴≤1，即－1≤a－≤1，
∴≤a≤.
6．若sinα·sinβ＝1，则cos(α＋β)的值为(　　)
A．0 B．1
C．±1 D．－1
答案：D
解析：由sinα·sinβ＝1可知sinα，sinβ同时为1或－1，此时cosα，cosβ均等于0.
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－1.
二、填空题
7．若cosα＝，α∈，则cos＝________.
答案：
解析：∵cosα＝，α∈，∴sinα＝－
∴cos＝cos·cosα＋sin·sinα＝
8．若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是________．
答案：等腰三角形
解析：△ABC中C＝π－(A＋B)
sinC＝sin(A＋B)
∴2cosBsinA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
即cosBsinA－cosAsinB＝0
∴sin(A－B)＝0　∴A＝B.
9．已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，则sin(α＋β)＝________.
答案：
解析：由sin＝，且0<α<，得cos＝－.由cos＝，<β<，得sin＝.
故cos
＝coscos－
sinsin＝－，
即cos＝－sin(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝.
三、解答题
10．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值．
解：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝
∴sinβ＝－.
又∵β为第三象限的角，
∴cosβ＝－，
∴sin＝sinβcos＋cosβsin
＝－×＋×＝.
11．若0<α<，－<β<0，cos＝－，cos＝，求cos的值．
解：∵cos＝－，∴cos＝.
∵0<α<，∴<α＋<，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
又cos＝，
∴sin＝，
∴cos
＝cos
＝coscos＋
sinsin
＝×＋×
＝.
　　能力提升
12．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值等于(　　)
A．±1 B．1
C．－1 D．0
答案：D
解析：原式＝sin[(θ＋15°)＋60°]＋cos[(θ＋15°)＋30°]－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
13．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3 cosφ，0<φ<，求cosφ的值．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，
即sinθ＝2cosθ.
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，
即cos2θ＝，∴sin2θ＝.
又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)
cosφ＋2 sinφ＝3 cosφ，
∴cosφ＝sinφ，
∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，
即cos2φ＝，
又0<φ<，
∴cosφ＝.